Вимірність векторного простору

2.38. Означення. Під вимірністю векторного простору будемо розуміти максимальну кількість лінійно незалежних векторів, які можна знайти в цьому просторі.

Іншими словами, у n -вимірному просторі обов'язково існують системи n лінійно незалежних векторів, а будь-які векторів – лінійно залежні.

Дуже важливим (у т. ч. для теоретичної фізики) є випадок, коли векторний простір має нескінченну вимірність. Це означає, що коли можливо знайти в такому просторі систему N лінійно незалежних векторів, у ньому завжди знайдеться вектор, який не буде лінійною комбінацією векторів цієї системи. На щастя, знання та навички, здобуті при вивченні просторів скінченної вимірності, дозволяють успішно розв'язувати й задачі, у яких використовується поняття нескінченновимірного простору. Тому надалі будемо здебільшого розглядати векторні простори скінченної вимірності n і позначати їх .

2.39. Приклад. У нульовому просторі немає лінійно незалежних векторів (див. приклад 2.30), тому умовно вважають, що вимірність нульового простору дорівнює нулю.

2.40. Приклад. Множина всіх геометричних векторів на прямій лінії є одновимірним простором. Усі геометричні вектори на площині утворюють двовимірний простір. Множина всіх геометричних векторів, що вивчаються у шкільному курсі стереометрії, є триви­мірним простором.

2.41. Приклад. Простір матриць порядку (див. приклад 2.10) має вимірність n і називається n-вимірним арифметичним простором.

 Це буде доведено при розгляді прикладу 2.45. 

2.42. Приклад. Простір функцій однієї змінної , означених і неперервних на відрізку , є нескінченновимірним векторним простором.

 Щоб упевнитися в цьому, розглянемо систему степеневих функцій N – будь-яке додатне ціле число[4]. Лінійна комбінація цих функцій (векторів) є поліномом

Нульовим вектором у просторі поліномів є поліном, усі коефіці­єнти якого дорівнюють нулю (див. приклад 2.12), і іншого нульового вектора немає (наслідок 2.15). Отже, жодна з нетривіальних лінійних комбінацій не дорівнює нулю, а тому система
функцій лінійно незалежна. Таким чином, вимірність простору функцій однієї змінної , означених і неперервних на відрізку , перевищує будь-яке число N, тобто є нескінченною.

Дата добавления: 2014-12-29