Первый этап – решение вспомогательной задачи

Решение ЗЛП двухэтапным Симплекс-методом

Пример 3.14. Рассмотрим задачу

= 0,4X₁+ 0,3X₂ + 0,1X₃ + 0,1X₅ + 0,2X₆ (3.71)

2X₂ + 2X₃ + 4X₄ + X₅ = 150

X₁ + X₂ + 2X₅ = 200 (3.72)

X₁ + X₃ + 2X₆ = 300

; j = 1,...,6 (3.73)

Так как ограничения (3.72) рассматриваемой ЗЛП уже имеют вид строгих равенств, то для приведения ее к каноническому виду достаточно только изменить знак функции на противоположный и рассмотреть задачу нахождения –0,4X₁ – 0,3X₂ –
– 0,1X₃ – 0,1X₅ – 0,2X₆ (3.74) при тех же ограничениях (3.72)–(3.73).

Рассмотрим расширенную матрицу А системы уравнений (3.72)

Так как матрица А не содержит единичной подматрицы порядка 3, то она не является К-матрицей ЗЛП и, следовательно, к задаче (3.71)–(3.73) не может быть применен симплекс-метод.

Рассмотрим метод отыскания исходного опорного плана (К-матрицы)- метод искусcтвенного базиса.

Пусть в ЗЛП (3.18) расширенная матрица системы линейных уравнений (3.63) не является К-матрицей. Рассмотрим следующую вспомогательную задачу: найти вектор , максимизирующий функцию

(3.74)

при условиях

, (3.75)

, , , , . (3.76)

Переменные называются искусственными переменными вспомогательной задачи (ВЗ) (3.74–3.76). Обозначим множество планов ВЗ. Очевидно, что множество 0, так как вектор , а функция 0 ограничена сверху, следовательно, ВЗ (3.74–3.76) всегда разрешима, т.е. существует вектор такой, что = () = d.

Рассмотрим расширенную матрицу системы (3.75)

, (3.77)

которая является К-матрицей ВЗ (3.74–3.76), т.е. ВЗ может быть решена симплекс-методом.

Предположим, что ВЗ решена симплекс-методом, на S-й итерации которого получен ее оптимальный опорный план

= , () = d, (3.78)

определяемый К-матрицей ВЗ.

. (3.79)

Очевидно, что матрица

(3.80)

является расширенной матрицей системы линейных уравнений, равносильной системе (3.63).

Теорема 3.14. Если () = d = 0, то вектор =(,…, ) является опорным планом ЗЛП (3.18), если () = d < 0, то множество планов ЗЛП (3.18) пусто.

Из теоремы 3.14 следует, что при решении ВЗ (3.74–3.76) симплекс-методом могут представиться следующий три случая:

1. На S-й итерации симплексного метода ни одна из искусственных переменных не является базисной, (, ), т.е. матрица = (3.61) является К-матрицей ЗЛП (3.18), а план =(, …, ) – опорным планом ЗЛП (3.18), определяемым этой К-матрицей.

2. На S-й итерации симплексного метода в числе базисных оказались искусственные переменные, например,

, p m,

т.е.

= n + 1, = n + 1, …, = n + p,

причем

.

Тогда вектор является вырожденным оптимальным опорным планом вспомогательной задачи линейного программирования, а матрица (3.61) содержит p < m единичных столбцов и не является К-матрицей основной задачи.

Однако в этом случае матрицу можно преобразовать в К-матрицу основной задачи линейного программирования, определяющую ее исходный опорный план.

Для этой цели рассмотрим любую r -ю строку из первых Р строк матрицы ().

Среди элементов () этой строки есть хотя бы один элемент, отличный от нуля, так как в противном случае ранг матрицы А меньше m.

Выберем этот элемент в качестве направляющего и совершим один шаг метода Жордана–Гаусса преобразования матрицы с выбранным направляющим элементом. В результате базисная искусственная переменная будет заменена одной из основных переменных , а элементы (n + 1) столбца матрицы не изменятся.

После р таких шагов метода Жордана–Гаусса матрица будет преобразована в К-матрицу основной задачи линейного программирования, определяющую ее исходный опорный план

= (, …, ).

Очевидно, этот опорный план будет вырожденным.

3. На S-й итерации симплексного метода в числе базисных оказались искусственные переменные , p m, причем хотя бы одна не равна нулю. В этом случае множество Р планов ЗЛП (3.18) пусто.

Дата добавления: 2014-12-29