Повторні незалежні іспити

4.1. Формула Бернулі.

Ймовірність того, що в n незалежних іспитах, в кожному з яких ймовірність появи події дорівнює p, подія настане рівно k разів (не має значення в якій послідовності)

Ймовірність того, що подія настане:

a)

b)

c)

d)

e) .

Приклад. З партії деталей відбирають деталі вищого ґатунку. Ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде вищого ґатунку, дорівнює 0,8. Яка ймовірність того, що серед трьох перевірених деталей тільки дві будуть вищого ґатунку.

Розв‘язок. Введемо позначення:

p – ймовірність того, що навмання вибрана деталь буде першого ґатунку, p=0,8;

n – загальне число перевірених деталей, n=3;

k – кількість деталей вищого ґатунку веред перевірених, k=2.

Ймовірність того, що деталь буде нижчого ґатунку, визначається з теореми про суму двох протилежних подій:

Шукана ймовірність знаходиться за формулою Бернулі:

4.2. Локальна та інтегральна теореми Муавра - Лапласа.

Ці теореми застосовуються, якщо число незалежних іспитів достатньо велике, а ймовірність появи події в одному іспиті відмінна від 0 та1.

Локальна теорема

де s w:ascii="Cambria Math" w:fareast="Times New Roman" w:h-ansi="Cambria Math" w:cs="Calibri"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:sz w:val="24"/><w:sz-cs w:val="24"/><w:lang w:val="EN-US"/></w:rPr><m:t>npq</m:t></m:r></m:e></m:rad></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="850" w:right="850" w:bottom="850" w:left="1417" w:header="708" w:footer="708" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>"> .

Функція - парна, тобто . Значення задаються в таблиці.

Інтегральна теорема

, .

Функція Лапласа

Ця функція непарна . Значення задаються таблицею.

Приклади.

1. Ймовірність відмови кожного приладу під час іспиту дорівнює 0,2. Що ймовірніше: при 20 іспитах відмова 4 приладів чи при 30 іспитах відмова 6 приладів? Прилади досліджують незалежно один від одного.

Розв‘язок. Використовуємо локальну теорему Лапласа. За умовою Визначимо ймовірність відмови 4 приладів, якщо досліджують 20.

тоді

Визначимо ймовірність відмови 6 приладів, якщо досліджують 30.

Бачимо, що . Тобто, відмовлення 4 приладів з 20 більш ймовірно, ніж 6 приладів з 30.

2. Електростанція обслуговує мережу з 6000 лампочок, ймовірність включення кожної з яких за час t дорівнює 0,8. Знайти ймовірність того, що одночасно (за цей час) буде ввімкнено не менше 4750 лампочок.

Розв‘язок. Подія тут складається з того, що одночасно ввімкнено від 4750 до 6000 лампочок. Застосуємо інтегральну теорему Лапласа:

, .

За умовою задачі n=6000; = 4750; = 6000; p=0,8; q = 0,2. Тоді

Значення функції Лапласа знаходимо за таблицею:

Дата добавления: 2014-12-23