Побудова статистичного розподілу кількісної оцінки

(елементи математичної статистики)

6.1. Сутність вибіркового методу.

Побудова варіаційних рядів.

Побудова гістограм.

Згадаємо деякі фізико - механічні властивості гірського масиву. Внаслідок неоднорідності породного масиву більшість з кількісних ознак, що йому належать,є випадковими величинами. Наприклад,у результаті випробування зразків гірської породи на стиск ми одержуємо для кожного зразка різні значення міцності, що обумовлено випадковими причинами. Тобто,міцність породи на стиск - випадкова величина, що може приймати значення з дуже широкого інтервалу. І виникає питання, які значення досліджуваної ознаки найбільш ймовірні, як оцінити наявний розкид цих значень, як він уплине на остаточні результати і таке інше. Для відповіді на ці питання треба підібрати для отриманих даних теоретичний закон розподілу у вигляді інтегральної чи диференціальної функцій розподілу. Першим кроком на шляху підбору теоретичного розподілу є статистична обробка даних,тобто їх статистичний аналіз.

З обстежуваної генеральної сукупності однорідних об’єктів,кількість яких N, роблять випадкову вибірку чисельністю в n одиниць. Нехай досліджується міцність деякої гірської породи на одноосьовий стиск. Ця характеристика встановлюється шляхом випробування в лабораторних умовах зразків породи об’ємом V, виготовлених із проби, що у свою чергу відібрана в досліджуваному масиві гірської породи. Таким чином, застосовується вибірковий метод: з генеральної чисельності зразків (V - увесь обсяг досліджуваного масиву гірської породи) відбирається тільки n зразків. Величина n називається обсягом вибірки.

Для того щоб за даними вибірки можна було достатньо впевнено судити т про цікавлячи нас ознаки генеральної сукупності, необхідно, щоб об’єкти вибірки правильно її представляли: вибірка повинна бути показною (репрезентативною). Вибірка буде показною,якщо всі об’єкти генеральної сукупності мають рівні шанси потрапити у вибірку.

Нехай у результаті вимірювань отримано значення (варіанти) кількісної ознаки Х: . Якщо ці значення записано у у відповідній відомості або в журналі в тій послідовності, у якій вони спостерігалися в дійсності, вони називаються незгрупованими даними.

Якщо таких даних багато, то ми не в змозі охопити зміст явища. Для виявлення характерних рис досліджуваної ознаки корисно згрупувати дані. Нехай у результаті дослідів кількісної ознаки Х значення з’явилося раз, - разів, ….. - з’явилося раз.Числа (і=1,….r), що показують, скільки разів спостерігається кожне із значень ознаки, називаються частотами.

Зрозуміло,що сума частот повинна дорівнювати обсягу вибірки

Величини називають відносними частотами

__

Якщо розташувати варіанти у порядку. що зростає чи спадає, і вказати для кожної варіанти її частоту, одержимо розподіл ознаки у вигляді упорядкованого віріаційного ряду.

X			…………………..
M			…………………….
W			…………………….

Як бачимо варіаційний ряд аналогічний ряду розподілу дискретної випадкової величини, що ми розглядали раніше (у прикладі з вимикачами напруги).

У наступній таблиці наведені результати визначення межі міцності зразків алевроліту на одноосьовий стиск у вигляді незгрупованих даних.

№ зразка	Міцність зразка на стиск, _ _	№ зразка	Міцність зразка на стиск, _

Але якщо для цих даних побудувати варіаційний ряд він вийде дуже громіздким. Тому не будемо його робити, а побудуємо так званий інтервальний ряд. Цей ряд використовують, коли випадкова величина є неперервною або число різних варіант дискретної величини Х велике.

Для побудови інтервального ряду треба:

1)серед незгрупованих даних вибирають найбільше і найменше .

=189 .

2)відрізок(, .)поділяють на інтервали (розряди) довжиною L

Де k - кількість інтервалів. Це число можна вибрати довільно,а можна скористатись формулою

Візьмемо число розрядів к = 6.

При цьому довжина розряду

За початок першого розряду візьмемо . Складаємо інтервальний ряд, помічаючи кожний результат крапкою. Варіанти, які приходять на мету розрядів, будемо відносити до наступного розряду. До того будемо рахувати частоти і відносні частоти.

	165-169	169-173	173-177	177-181	181-185	185-189
Підрахунок частот	.....	.............	...............	..............	…..	….
Частоти,mі
	0.089	0ю232	0.268	0.250	0.082	0.072	g w:val="UK"/></w:rPr><m:t>1</m:t></m:r></m:sub></m:sSub><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math" w:cs="Calibri"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>=1</m:t></m:r></m:e></m:nary></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRPr="00ED7168"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="850" w:right="850" w:bottom="850" w:left="1417" w:header="708" w:footer="708" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">
	0.022	0.058	0.066	0.062	0.022	0.018

Наочним графічним зображенням інтегрального ряду є гістограма частот. На осі абсцис відкладаються відрізки, які дорівнюють довжинам інтегралів. На кожному з відрізків як на основі будуть прямокутник висота якого складає:

g w:val="UK"/></w:rPr><m:t>i</m:t></m:r></m:sub></m:sSub></m:num><m:den><m:r><w:rPr><w:rFonts w:ascii="Cambria Math" w:h-ansi="Cambria Math" w:cs="Calibri"/><wx:font wx:val="Cambria Math"/><w:i/><w:lang w:val="UK"/></w:rPr><m:t>l</m:t></m:r></m:den></m:f></m:oMath></m:oMathPara></w:p><w:sectPr wsp:rsidR="00000000" wsp:rsidRPr="00E96C68"><w:pgSz w:w="12240" w:h="15840"/><w:pgMar w:top="850" w:right="850" w:bottom="850" w:left="1417" w:header="708" w:footer="708" w:gutter="0"/><w:cols w:space="720"/></w:sectPr></wx:sect></w:body></w:wordDocument>">

Тоді площа кожного прямокутника дорівнює відносній частоті ,а площа всієї гістограми дорівнює одиниці.

На рисунку побудована гістограма відносних частот для величини Х - міцності на стиск алевроліту. Очевидно,що при збільшенні числа дослідів можна вибирати усе більш дрібні інтервали. При цьому гістограма буде усе більше наближатися до деякої кривої,що обмежує область, площа якої дорівнює одиниці. Ця крива має назву полігон. Неважко переконатися, що ця крива являє собою графік щільності розподілу досліджуваної кількісної ознаки Х, тобто графік функції f(х).

Подальший аналіз складається в підборі аналітичного виразу для функції f (х). При цьому дослідник аналізує вигляд гістограми, що у першому наближенні вказує на вигляд графіка f (х). І на цьому етапі головну роль відіграють так звані числові характеристики випадкової величини.

Дата добавления: 2014-12-23