Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Вероятностное пространство




Читайте также:
  1. Византия как цивилизационное пространство
  2. Воображаемые пространство и время
  3. Воображаемые пространство и время
  4. ВРЕМЯ И ПРОСТРАНСТВО
  5. Время, пространство, хронотоп в социальном и гуманитарном знании
  6. Глобальное информационное пространство
  7. Евклидово пространство. Длина вектора. Угол между векторами.
  8. ЗАНЯТИЕ 12. Линейное пространство n-векторов. Линейная зависимость n-векторов. Определения ранга матрицы и его вычисление для совокупности векторов и матрицы.
  9. Интернет-пространство
  10. Категориальное пространство осмысления техники
  11. Лекция 7. Системы линейных уравнений. Арифметическое n-мерное векторное пространство. Метод Гаусса. Правило Крамера.

 

Пусть – пространство элементарных исходов. Вероятностью на пространстве W называется заданная на этом пространстве числовая функция Р, обладающая двумя свойствами:

1) Р(wi) ³ 0 для всех i;

2) Р(w1) + Р(w2) + Р(w3) + … = 1

Величину Р(wi) называют вероятностью исхода wi и обозначают рi. Эта величина характеризует частоту появления данного исхода в результате проведения серии экспериментов.

Вероятность на пространстве W удобно бывает задавать с помощью таблицы:

w1 w2 w3
р1 р2 р3

Такая таблица иногда называется распределением вероятности на пространстве W.

Задача 7. Пространство W состоит из 4 исходов, вероятности которых пропорциональны числам 1, 2, 3 и 4. Определить эти вероятности.

Пространство элементарных исходов W с заданной на нем вероятностью Р называется вероятностным пространством.

Вероятностью события А называется сумма вероятностей элементарных исходов, благоприятствующих этому событию: . При этом вероятность невозможного события полагается равной нулю.

Задача 8. Пусть . Известно, что Р(А) = 0,8; Р(В) = 0,6. Найти вероятности всех элементарных исходов.

Свойства вероятности.

1.Р(W) = 1

2.0£Р(А)£1 для любого события А

3.Если АÌВ, то Р(А)£Р(В)

4.Если события А и В несовместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

5. Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(А×В) для любых событий А и В

6. .

Центральное место среди этих свойств занимает, несомненно, свойство 4. Присмотритесь к нему внимательно и испытайте радость узнавания – это знакомое нам по комбинаторике свойство аддитивности (или правило сложения), только вместо количества элементов во множествах А и В здесь мы имеем дело с вероятностями соответствующих событий.

Задача 9. Докажите свойства 1 – 6.

Важный пример.

Пусть у нас имеется вероятностное пространство (W, Р), где , а вероятность Р задана набором чисел {р1, р2, р3, … }. Известно, что в результате некоторого эксперимента произошло событие А = , однако не известно, какой именно элементарный исход имел место. Что можно сказать о вероятности исхода wi с учетом этой информации? Обозначим эту вероятность через pi(A). Понятно, что при i>k следует считать pi(A) = 0. При i£k числа pi(A) должны быть пропорциональны числам pi, то есть можно положить pi(A) = kpi. При этом должно выполняться условие p1(A)+p2(A)+p3(A)+…+pk(A) = 1, то есть k×(p1+p2+p3+…+pk) = 1. Но сумма, стоящая в скобках, – это вероятность события А. Таким образом k×p(A) = 1 и . Итак, мы построили новое вероятностное пространство, для которого пространством элементарных исходов является множество А, а вероятности элементарных исходов задаются формулами .



Задача 10. Как найти вероятность события В, если известно, что произошло событие А?

Решение. Вероятность события В (при условии, что произошло событие А) – это сумма тех pi(A), для которых . Так как pi(A) отличны от нуля лишь тогда, когда , то окончательно имеем, что искомая вероятность равна .

Найденная нами в задаче 9 величина носит название условной вероятности и обозначается p(BïA) (читается «вероятность B при условии A»). Таким образом имеем:

(1)

Обычно эта формула служит определением условной вероятности. Формулу (1) обычно используют для определения вероятности произведения двух (или нескольких) событий:

р(АВ) = р(А)×р(ВïА) (2)

Задача 11. Доказать, что если р(ВïА) = р(В), то р(АïВ) = р(А).

Результат этой задачи позволяет дать следующее определение:

События А и В называются независимыми, если р(АВ) = р(А)р(В).

Независимость двух событий означает, что вероятность каждого из них не зависит от того, произошло другое событие или нет, то есть р(ВïА) = р(В) и р(АïВ) = р(А).

 





Дата добавления: 2014-12-29; Просмотров: 170; Нарушение авторских прав?;


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



ПОИСК ПО САЙТУ:


Рекомендуемые страницы:

Читайте также:



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2018) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление ip: 54.161.71.188
Генерация страницы за: 0.002 сек.