Как определяют pi?

Для того, чтобы изложенная выше теория имела какое-то практическое применение, следует предложить разумный способ нахождения p_i. Обычно для этого применяют два подхода. Классический подход заключается в том, что вероятности всех элементарных исходов считаются одинаковыми. Этот подход применим лишь в случае, когда пространство элементарных исходов конечно. Статистический подход предполагает проведение большого количества экспериментов, после чего в качестве p_i берется частота исхода w_i, то есть отношение числа экспериментов, при которых данный исход имел место, к общему количеству экспериментов.

Какой из двух подходов следует применить для решения данной задачи, обычно бывает понятно из ее условия. Так, при подбрасывании симметричного кубика все исходы следует считать равновероятными. Если же кубик имеет какой-либо дефект, то надо применить статистический подход.

Задача 12. Докажите, что при классическом определении вероятности справедлива формула

(3)

Формула (3) позволяет находить вероятность данного события чисто комбинаторными методами.

Задача 13. Из карточной колоды (36 карт) берется карта. Какова вероятность, что она бубновой масти?

Решение. В данном случае пространство W состоит из 36 элементарных исходов (по числу карт в колоде). Предположение о том, что эти исходы равновероятны, не выглядит слишком смелым. Так как благоприятных исходов 9, то, согласно формуле (3) .

Задача 14. Из карточной колоды (36 карт) берутся две карты. Какова вероятность, что обе они бубновой масти?

Решение. Будем считать, что обе карты извлекаются из колоды одновременно. Тогда пространство элементарных исходов W состоит из неупорядоченных пар (то есть сочетаний из 36 по 2). Их общее количество . Множество благоприятных исходов состоит из неупорядоченных пар карт бубновой масти. Их общее количество =36. Отсюда .

Этот результат не изменится, если считать, что карты извлекаются из колоды последовательно одна за другой. Только в этом случае вместо сочетаний нам придется рассмотреть размещения, в результате чего число исходов (как всех, так и благоприятных) возрастет в два раза.

Однако данную задачу можно решать совсем по-другому, основываясь на понятии условной вероятности. Будем считать, что карты извлекаются из колоды последовательно. Тогда событие А можно представить как произведение событий А₁ (первая карта бубновой масти) и А₂ (вторая карта бубновой масти). Из формулы (2) следует, что р(А) = р(А₁)×р(А₂ïА₁) = . Вычисляя условную вероятность р(А₂ïА₁) мы исходим из того, что при вытаскивании второй карты в колоде осталось только 35 карт, из них 8 бубен.

Задача 15. Из карточной колоды (36 карт) берутся две карты. Какова вероятность следующих событий:

1) А – выбрано ровно два короля;

2) В – выбран ровно один король;

3) С – не выбрано ни одного короля;

4) D – выбран хотя бы один король;

5) Е – выбран один король и одна дама, причем их масти не совпадают.

Задача 16. В коробке лежит три синих, четыре красных и пять черных шаров. Наугад извлекаются три шара. Какова вероятность, что все они одного цвета? Какова вероятность, что все три шара разных цветов?

Задача 17. 6 карточек с буквами М, О, Л, О, К и О в произвольном порядке выкладываются на стол. Какова вероятность, что при этом получится слово МОЛОКО? Какова вероятность, что две буквы О не окажутся рядом?

Задача 18. 12 команд произвольным образом разбиваются на две подгруппы по 6 команд в каждой. Какова вероятность, что две наиболее сильные команды окажутся в одной подгруппе?

Решение. Назовем две сильнейшие команды «Спартак» и ЦСКА. В качестве элементарного исхода будем рассматривать неупорядоченную выборку, состоящую из пяти команд, попавших в одну группу со «Спартаком». Тогда . Благоприятный исход – это такая выборка, в которой присутствует ЦСКА, остальные же 4 команды выбираются из 10 оставшихся. Таким образом, число благоприятных выборок равно . То есть искомая вероятность равна .

Задача 19. 12 команд произвольным образом разбиваются на три подгруппы по 4 команды в каждой. Какова вероятность, что три наиболее сильные команды окажутся в разных подгруппах?

Задача 20. Игральную кость бросают до тех пор, пока не выпадет шестерка. Какова вероятность, что это событие рано или поздно произойдет?

Решение. Вероятность того, что шестерка не выпадет ни разу за n бросаний равна . Соответственно, вероятность того, что шестерка выпадет хотя бы раз (за n бросаний), равна . Вероятность того, что шестерка выпадет когда-нибудь, не меньше этой величины. Так как с ростом n величина стремится к нулю, то искомая вероятность равна 1.

Задача 21. Сколько раз нужно бросить игральную кость, чтобы появление шестерки имело вероятность, большую 0,8?

Задача 22. Монету бросают до тех пор, пока два раза подряд не выпадет орел. Какова вероятность, что это событие рано или поздно произойдет?

Задача 23. Двое поочередно вынимают (без возвращения) шары из коробки, содержащей 4 черных и два белых шара. Побеждает тот, кто первым вытаскивает белый шар. Какова вероятность, что победителем окажется игрок, сделавший первый ход?

Задача 24. Пусть события А и В независимы. Докажите, что события А и тоже независимы.

Задача 25. Пусть – пространство, состоящее из 4 равновероятных исходов; . Проверьте, что эти три события попарно независимы, в то же время равенство Р(АВС) = Р(А)Р(В)Р(С) не выполняется.

События А₁, А₂,…,А_n называются независимыми в совокупности, если для любой группы событий А_i вероятность произведения событий, входящих в эту группу, равна произведению их вероятностей.

Результат задачи 25 показывает, что попарно независимые события не обязаны быть независимыми в совокупности.

Дата добавления: 2014-12-29