Парная корреляция и парная регрессия

Рассмотрим построение парной регрессии и корреляции на примере.

Пример 7.1. Изучается зависимость себестоимости единицы изделия (y, тыс. руб.) от величины выпуска продукции (х, тыс. шт.). Обследовав 5 предприятий, результаты заполнены в корреляционную таблицу (табл.7.1.).

Таблица 7.1.

Корреляционная таблица зависимости себестоимости единицы изделия (y) и величины выпуска продукции (х).

n	y	x	х*y	x^2	y^2	(y-yсред)^2	(x-xсред)^2	yх
	1,9		3,8		3,61	0,048		1,90
	1,7		5,1		2,89			1,79
	1,8		7,2		3,24	0,014		1,68
	1,6				2,56	0,006		1,57
	1,4		8,4		1,96	0,078		1,46
	8,4		32,5		14,26	0,15		–
Средн.	1,68		6,5		2,85	–	–	–
s^2	0,03		–	–	–	–	–	–
s	0,17	1,41	–	–	–	–	–	–

Наглядным изображением корреляционной таблице служит корреляционное поле. Оно представляет собой график, где на оси абсцисс откладывают значения Х, по оси ординат – У, а точками показывается сочетание Х и У. По расположению точек, их концентрации в определенном направлении можно судить о наличии связи.

Рис.7.1. Поле корреляции

Из рис. 7.1. видно, что точки формируют линейную связь. Направление связи, скорее всего обратное, так как с увеличением X, значения Y уменьшаются. Докажем это проведя корреляционный анализ. Последовательность точек (Xi,Yxi) дает график, который иллюстрирует зависимость среднего значения результативного признака У от факторного X, – эмпирическую линию регрессии, наглядно показывающую, как изменяется У по мере изменения X. По существу, и корреляционная таблица, и корреляционное поле, и эмпирическая линия регрессии предварительно уже характеризуют взаимосвязь, когда выбраны факторный и результативный признаки и требуется сформулировать предположения о форме и направленности связи. В то же время количественная оценка тесноты связи требует дополнительных расчетов. Практически для количественной оценки тесноты связи широко используют линейный коэффициент корреляции. Иногда его называют просто коэффициентом корреляции. Если заданы значения переменных Х и У, то он вычисляется по формуле: , где - среднее квадратичное отклонение (стандартное отклонение), получаемый как корень квадратный из дисперсии - – средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины .

Коэффициент корреляции принимает значения в интервале от -1 до + 1. Принято считать, что если |r|< 0,30, то связь слабая; при |r|= (0,3÷0,7) – средняя; при |r|> 0,70 – сильная, или тесная. Когда |r|= 1 – связь функциональная. Если же r принимает значение около 0, то это дает основание говорить об отсутствии линейной связи между У и X. Однако в этом случае возможно нелинейное взаимодействие, что требует дополнительной проверки и других измерителей, рассматриваемых ниже. В нашем примере, значения коэффициента парной корреляции показывает, что степень тесноты связи, очень высокая, по направлению – обратная, так как . Для характеристики влияния изменений Х на вариацию У служат методы регрессионного анализа. В случае парной линейной зависимости строится регрессионная модель: , где n – число наблюдений; а, b – неизвестные параметры уравнения; ei – ошибка случайной переменной У; Уx – рассчитанное выравненное значение результативного признака после подстановки в уравнение X. Параметры а и b оцениваются с помощью процедур, наибольшее распространение из которых получил метод наименьших квадратов. Его суть заключается в том, что наилучшие оценки а и b, получают, когда: т.е. сумма квадратов отклонений эмпирических значений зависимой переменной от вычисленных по уравнению регрессии должна быть минимальной. Сумма квадратов отклонений является функцией параметров а и b. Ее минимизация осуществляется решением системы нормальных уравнений (СНУ): .

Решением этой системы относительно а и b, являются оценки неизвестных коэффициентов модели парной регрессии:

;

– ковариация признаков (корреляционный момент) – это взаимосопряженное отклонение от средних значений.

В нашем примере для построения парной линейной регрессии рассчитаем параметры (коэффициенты) уравнения с помощью СНУ:

. Выразим из 1-го уравнения а: . Подставим данное выражение во 2-ое уравнение: . Тогда , следовательно . Найдем коэффициент а, подставив b в 1-ое уравнение: .

Тогда, уравнение парной регрессии будет иметь вид: . Параметр a – это постоянная величина в уравнении регрессии. На наш взгляд, экономического смысла он не имеет, но в ряде случаев его интерпретируют, как начальное значение У. Параметр b в уравнении регрессии называется коэффициентом регрессии, показывает, на сколько единиц, в среднем изменяется результативный признак Y, с изменением на 1 единицу факторного признака X, т.е. увеличении выпуска продукции на 1 тыс. шт., себестоимость 1 изделия в среднем уменьшится на 0,11 тыс. руб. Значение функции Ух называется расчетным значением и на графике образует теоретическую линию регрессии, смысл которой заключается в том, что это оценка среднего значения переменной У для заданного значения X. Парная корреляция или парная регрессия могут рассматриваться как частный случай отражения связи некоторой зависимой переменной, с одной стороны, и одной из множества независимых переменных – с другой. Когда же требуется охарактеризовать связь всего указанного множества независимых переменных с результативным признаком, говорят о множественной корреляции или множественной регрессии.

Дата добавления: 2014-12-29