Нахождение оптимального плана

Для решения задачи воспользуемся методом, реализованным командой «Поиск решения»/«Solver» в меню Сервис/Service.

Рассмотрим подробно элементы диалогового окна «Поиск решения» (см. Рис. 5).

Рис. 5 Окно «Поиск решения»

В поле «Установить целевую ячейку»/ «Set Target Cell» дается ссылка на ячейку с целевой функцией, для которой будет находиться максимум, минимум или заданное значение. В нашем случае вводится D11.

Тип взаимосвязи между решением и целевой ячейкой задается путем установки переключателя в группе «Равной»/ «Equal To». В нашей задаче установим переключатель в положение «Максимальному значению»/ «Max», т.к. планируется производство, обеспечивающее максимальный доход.

В поле «Изменяя ячейки»/ «By Changing Cell» указываются номера ячеек, которые должны изменяться в процессе поиска решения задачи, т.е. ячейки, отведенные под переменные задачи. В нашем случае введем в поле «Изменяя ячейки» диапазон $B$16:$C$16.

Ограничения, налагаемые на переменные задачи, отображаются в поле «Ограничения»/ «Subject To the Constraints». Средство поиска решений допускает ограничения в виде равенств, неравенств, а также позволяет ввести требование целочисленности переменных. Ограничения добавляются по очереди. Для ввода ограничений нажмите кнопку «Добавить»/ «Add» в диалоговом окне «Поиск решения» и в открывшемся диалоговом окне «Добавление ограничения» (Рис. 6) заполните поля.

Рис. 6 Окно «Добавление ограничения»

В поле «Ссылка на ячейку» введите адреса ячеек, в которых находятся левые части ограничений, в нашем случае это $D$6. В поле «Ограничение» — адреса ячеек, в которых находятся правые части, в нашем примере это $F$6. С помощью раскрывающегося списка вводится тип соотношения между левой и правой частями ограничения. В нашем примере это £. Можно вводить сразу группы ограничений, выделяя соответствующие диапазоны ячеек мышью. Нажатие кнопки «ОК» завершает ввод ограничений.

Кнопка «Параметры»/ «Options» в диалоговом окне «Поиск решения», необходима для проверки параметров поиска решений.

В открывшемся диалоговом окне «Параметры поиска решения» (Рис. 7) можно изменять условия и варианты поиска решения исследуемой задачи, а также загружать и сохранять оптимизируемые модели. Значения и состояния элементов управления, используемые по умолчанию, подходят для решения большинства задач.

Рис. 7 Окно «Параметры поиска решения»

Тем не менее, рассмотрим подробнее элементы этого диалога:

Поле «Максимальное время» служит для ограничения времени, отпускаемого на поиск решения задачи.

Поле «Предельное число итераций» служит для ограничения числа промежуточных вычислений.

Поля «Относительная погрешность» и «Допустимое отклонение» служат для задания точности, с которой ищется решение. Рекомендуется после нахождения решения с величинами этих параметров, заданными по умолчанию, повторить вычисления с большей точностью и меньшим допустимым отклонением и сравнить с первоначальным решением. Использование подобной проверки особенно рекомендуется для задач с требованием целочисленности переменных.

Флажок «Линейная модель» служит для поиска решения линейной задачи оптимизации или линейной аппроксимации нелинейной задачи. В случае нелинейной задачи этот флажок должен быть сброшен, в случае линейной задачи — установлен, т.к. в противном случае возможно получение неверного результата.

С помощью флажка «Неотрицательные значения» можно задать условие неотрицательности переменных.

Флажок «Показывать результаты итераций» служит для приостановки поиска решения и просмотра результатов отдельных итераций.

Флажок «Автоматическое масштабирование» служит для включения автоматической нормализации входных и выходных значений, качественно различающихся по величине, например, при максимизации прибыли в процентах по отношению к вложениям, исчисляемым в рублях.

Группа «Оценка»служит для выбора метода экстраполяции.

Группа «Производные» служит для выбора метода численного дифференцирования.

Группа «Метод» служит для выбора алгоритма оптимизации.

Вернуться в окно «Поиск решения» можно нажатием кнопки ОК.

Нажатие кнопки «Выполнить»/ «Solve» открывает окно «Результаты поиска решения», которое сообщает, что решение найдено (Рис. 8). Для того чтобы вывести отчет о результатах решения задачи выберите в диалоговом окне требуемый тип отчета: «Результаты», «Устойчивость», «Пределы». Можно выбрать одновременно все типы отчетов, выделив их при нажатой клавише Ctrl.

Рис. 8 Окно «Результаты поиска решения»

5.2. Отчеты, как средство дополнительной информации о модели

В отчетах сгруппированы результаты, относящиеся к анализу модели на чувствительность. При изучении отчетов Excel сравните их с результатами, полученными при графическом анализе чувствительности.

Отчет по результатам подробно описывает табличную модель с указанием адресов целевой ячейки, ячеек с ограничениями и изменяемых ячеек (см. Рис. 9).

Для ячеек с ограничениями кроме исходного неравенства кроме значения и формулы указываются еще два значения: статус и разница. Если ограничение, выраженное неравенством типа «меньше или равно» или «больше или равно», на оптимальном решении становится равенством, то соответствующее ограничение приобретает статус «связанное». Соответственно в графе «Разница» пишется ноль. Соответствующий ресурс является дефицитным.

В противном случае, если на оптимальном решении ограничение выполняется в виде строгого неравенства, в графе «Разница» фиксируется разность между правой частью ограничения и значением, полученным на оптимальном решении. В этом случае соответствующее ограничение называется «несвязанным» а ресурс — недефицитным.

Рис. 9 Отчет по результатам

Отчет по устойчивости требует более значительных пояснений (см. Рис. 10). Во-первых, обратите внимание на верхнюю таблицу. Видно, что производство красок обоих типов является необходимым для получения максимально возможной прибыли при заданных условиях. Столбец «Нормированная стоимость» показывает, на сколько единиц следует уменьшить доходность краски данного типа, с тем, чтобы увеличить оптимальный доход. Если нормированная стоимость (часто используется другой термин — приведенная стоимость) положительна, то, как следует из теории двойственности, стоимость потребленных ресурсов больше возможного дохода (на единицу интенсивности), поэтому такая деятельность экономически неприемлем и соответствующая переменная равна 0. В нашем случае в оптимальном решении обе переменные имеют положительные значения и нулевые нормированные стоимости.

Рис. 10 Отчет по устойчивости

Графы «Допустимое увеличение» и «Допустимое уменьшение» показывают, на сколько можно изменить доходность краски каждого типа с тем, чтобы оптимальное решение (оптимальный план производства) не изменялось. Эти результаты относятся к анализу чувствительности при изменении по отдельности коэффициентов целевой функции.

Так увеличение на 1 или уменьшение на 3 только коэффициента при в целевой функции (т.е. изменение доходности производства краски для наружных работ в пределах от 2000 до 6000 рублей за тонну при сохранении доходности производства краски для внутренних работ на уровне 4000 р. за тонну) не приводит к изменению оптимального решения.

Во второй таблице приведены результаты анализа чувствительности при изменении по отдельности правых частей неравенств ограничений (т.е. запасов ресурсов). Так, например, текущее оптимальное решение сохраняется до тех пор, пока ежедневный запас сырья будет находиться в пределах от 20 до 36 тонн (допустимое увеличение 12 тонн и допустимое уменьшение 4 тонны).

В графе «Результ. значение» приведены значения правых частей ограничений, полученных на при оптимальном решении.

Обратите внимание на значения 1Е+30. Оно означает бесконечно большое значение (неограниченное увеличение или уменьшение). Так ресурсы 3 и 4 являются недефицитными, т.е. использованы не полностью, поэтому допустимо его неограниченное увеличение. Столбец «Допустимое уменьшение» показывает, на сколько может быть уменьшено значение правой части ограничения (т.е. запас ресурса) при условии неизменности полученного оптимального решения.

Теневая цена (или двойственная цена) — еще одно название стоимости ресурса. Она равна изменению значения целевой функции при изменении на единицу величины ресурса (в указанных пределах возможного изменения).

Например, теневая цена 0,75 для ресурса 1 (запас сырья ) показывает, что каждая дополнительная тонна сырья увеличит доход на $750. Заметим, что этот вывод справедлив только при условии, что запас сырья находится в пределах от 20 до 36 тонн (см. графы «Допустимое уменьшение» и «Допустимое увеличение»).

В отличии от дефицитных ресурсов (связанных ограничений), теневая цена для недефицитных ресурсов (несвязанных ограничений) всегда равна нулю. Это показывает возможность экономии. Теневые цены для третьего и четвертого ограничений в данной модели равны 0 при изменении значений правых частей этих неравенств от –1,5 до бесконечности и от 1,5 до бесконечности соответственно. Это означает, что ограничения, накладываемые рынком, на структуру производства (ограничения по спросу), в данной ситуации не оказывают влияния на оптимальное решение.

Отчет по пределам показывает значений целевой функции при нижних и верхних (оптимальных) объемах производства каждого из типов краски (см. Рис. 11). Нижним пределом является наименьшее значение, которое может содержать изменяемая ячейка, в то время как значения остальных изменяемых ячеек фиксированы и удовлетворяют наложенным ограничениям. Соответственно, верхним пределом называется наибольшее значение.

Рис. 11 Отчет по пределам

Информацию, представленную в отчетах может быть использована для того, чтобы подробнее изучить моделируемую ситуацию. Например, вы можете заинтересоваться какой вид продукции при существующих экономических условиях производить не выгодно или производство какого вида позволит получить максимальную прибыль. С помощью отчетов вы можете оценить вклад каждого из видов производимой продукции в получаемую прибыль от реализации, сможете определить виды продукции, цены на которые необходимо изменить для того, чтобы их производство стало экономически выгодным. Наличие информации о теневых ценах позволяет проанализировать возможные потери при покупке излишних материальных запасов.

Все эти и многие другие вопросы планирования, учета и прогнозирования производства позволяют решить отчеты, автоматически генерируемые средством пакета «Поиск решения» MS Excel.

Дата добавления: 2014-12-29