Связь силы и потенциальной энергии

Поле консервативных сил можно описать, задавая либо силу в каждой точке, либо значение потенциальной энергии. Установим связь этих двух эквивалентных способов описания, т.е. общее соотношение между силой и потенциальной энергией.

Рассмотрим элементарное перемещение материальной точки в поле консервативных сил вдоль оси X на величину dx.

Такое перемещение сопровождается совершением работы со стороны сил поля

.

Та же работа может быть представлена и как убыль потенциальной энергии

.

Приравняв оба выражения для работы, получим

или

Выражение представляет собой производную функции , вычисленную в предположении, что переменные y и z остаются неизменными, а изменяется лишь x. Подобные производные по одной координате при фиксированных остальных называются частными и обозначаются (см.приложение1). Следовательно

. (4.23)

Аналогичным образом, получим

, . (4.24)

Зная компоненты силы на соответствующие орты координатных осей, можно найти вектор силы

. (4.25)

Здесь - называется оператором набла, а выражение читается как «градиент U».

Таким образом, консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком. Вектор градиента направлен в сторону наиболее быстрого возрастания функции при изменении координат. Поэтому сила направлена в сторону наиболее быстрого убывания потенциальной энергии.

Смысл градиента станет наглядным, если ввести понятие эквипотенциальной поверхности – поверхности, во всех точках которой потенциальная энергия имеет одно и то же значение.

Проекция силы на касательную к эквипотенциальной поверхности () в каждой точке должна быть равна нулю

.

Из этого следует, что вектор силы нормален эквипотенциальной поверхности в каждой точке, а его модуль равен

.

Итак, (градиент U) – это вектор, направленный по нормали к эквипотенциальной поверхности в сторону возрастания потенциальной энергии (рис. 4.6).

Полученное соотношение (4.25), связывающее силу с потенциальной энергией, в практическом отношении удобно для вычисления силы, если известна потенциальная энергия как функция координат. Подобные примеры будут рассмотрены ниже (см. 4.9.).

Дата добавления: 2014-12-29