Примеры решения задач. 1. Сила, действующая на частицу, имеет вид , где и b – константы

1. Сила, действующая на частицу, имеет вид , где и b – константы. Вычислить работу, совершаемую над частицей этой силой на пути от точки с координатами (1,2,3) м до точки с координатами (3,4,5) м.

Решение

Элементарная работа согласно определению

.

Полную работу найдем путем интегрирования

.

Как следует из условия задачи, проекции силы на соответствующие координатные оси равны , , а , .

С учетом этого, окончательно имеем

.

2. Тело массы m начинает двигаться под действием силы . Найти мощность , развиваемую силой в момент времени t.

Решение

По определению мгновенная мощность

.

Вектор скорости тела к моменту времени найдем путем интегрирования ускорения по времени

.

Вектор ускорения выразим из второго закона Ньютона

.

Подставляя найденное выражение в формулу для вектора скорости, имеем

.

С учетом полученного выражения мощность, развиваемая телом к моменту времени t равна

.

3. Потенциальная энергия частицы имеет вид , где r – модуль радиус-вектора частицы, - константа. Найти силу , действующую на частицу, и работу, совершаемую над частицей при переходе ее из точки М(1,2,3) в точку N(2,3,4).

Решение

Вектор силы градиенту потенциальной энергии с обратным знаком

, .

Учитывая, что =а , частные производные потенциальной энергии по координатам будут равны

, , .

Тогда вектор силы действующей на частицу

,

где .

Работа, совершаемая над частицей при переходе ее из точки М(1,2,3) в точку N(2,3,4) равна убыли потенциальной энергии, т.е.

=

.

4. Какова минимальная работа, которую надо затратить, чтобы втащить волоком тело массы m на горку длины L и высоты H? Коэффициент трения равен .

Решение

Чтобы втащить волоком тело массы m на горку длины L и высоты H, необходимо совершить работу против силы тяжести и силы трения. Следовательно

.

По определению эти работы соответственно равны

, .

После подстановки, получим

,

где

.

5. Частица массы m₁ испытывает упругое центральное столкновение с неподвижной частицей массы m₂. Какую долю своей энергии первая частица передала второй?

Решение

Доля энергии, переданная первой частицей при столкновении со второй, выразится соотношением:

,

где - кинетическая энергия первой частицы до столкновения, - приобретенная кинетическая энергия второй частицы.

При упругом столкновении выполняются законы механической энергии и сохранения импульса. Применяя эти законы, получим следующую систему

,

где и - скорости первой частицы до и после столкновения соответственно, - скорость второй частицы после столкновения.

Решая совместно уравнения, найдем

.

С учетом полученного выражения доля энергии, переданная первой частицей при столкновении со второй, будет равна

.

Дата добавления: 2014-12-29