Для расчета средней квадратичной скорости выражение (1) удобно преобразовать, умножив числитель и знаменатель на NA

<u_кв>= ;

<u_кв>=13,7×10² м/с – для гелия;

<u_кв>=5,17×10² м/с – для азота.

Средняя полная энергия молекулы зависит от числа степеней свободы молекулы:

<E₀>= .

Полная кинетическая энергия всех молекул, равная для идеального газа его внутренней энергии, может быть найдена как произведение Е₀ на число всех молекул:

Е=U=Е₀×N; N= .

Гелий – одноатомный газ Þ i=3, тогда <E₀>=6,2×10^-21 Дж.

Азот – двухатомный газ Þ i=5, тогда <E₀>=10,4×10^-21 Дж.

Полная энергия всех молекул

Е= .

Для гелия W=93,5×10³ Дж; для азота W=22,3×10³ Дж.

Ответ: для гелия W=93,5×10³ Дж; для азота W=22,3×10³ Дж

Задача 3 Рассчитать среднюю длину свободного пробега молекул азота, коэф­фициент диффузии и вязкость при давлении р=10⁵ Па и температуре 17 ⁰С. Как изменятся найденные величины в результате двукратного увеличения объема газа: 1) при постоянном давлении; 2) при постоянной температуре? Эффективный диаметр молекул азота d=3,7×10^-8см.

p = 10^5Па T = 300К V2 = 2V1 1) p – const 2) T – const d = 3,7×10^-10м	Решение Средняя длина свободного пробега и коэффициенты переноса могут быть рассчитаны по следующим формулам: ; (1) ; (2) , (3) где n – концентрация молекул газа; <u> - средняя скорость молекулы; m0 – масса одной молекулы;
l -? D -? h -?

Концентрацию молекул можно определить из уравнения p=nkT:

n=p/kT подставим в уравнение (1):

6,5×10^-8 м.

Средняя скорость <u>= =470 м/с;

Тогда D=1×10^-5 м²/с.

Для расчета h подставим (1) в (3):

1,2×10^-5 .

Как видно из выражения (1), длина свободного пробега зависит только от концентрации молекул. При двукратном увеличении объема концентрация уменьшится вдвое. Следовательно, при любом процессе l₂/l₁=2.

В выражение для коэффициента диффузии входит не только длина свободного пробега, но и средняя скорость. Тогда:

При р=const объем прямо пропорционален температуре: Т₂/Т₁=V₂/V₁=2, тогда D₂/D₁= .

При Т=const D₂/D₁=l₂/l₁=2.

Вязкость зависит от скорости молекул, следовательно, и от температуры, т.е.

,

при р=const ;

при Т=const .

Ответ: l=6,5×10^-8 м; D=1×10^-5 м²/с; h=1,2×10^-5 .

Задача 4 Пылинки массой 10^-18 г. взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура воздуха во всем объеме одинакова: Т=300 К.

m1 = 10^-21 кг T = 300 К	Решение При равновесном распределении пылинок их концентрация зависит только от координаты z по оси, направленной вертикально. По распределению Больцмана: n=n0×e^-^u^/^kT=n0×e^-^mgz^/^kT. (1)
DZ -?

Дифференцируя выражение (1) по z, получим

dn=-n_0× ×e^-mgz/kT×dz.

Так как n_0×e^-mgz/kT=n, то dn=- ×n×dz. Отсюда dz= .

Знак «-» показывает, что положительным изменениям координаты (dz>0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn<0). Знак «-» опускаем и заменяем dz и dn конечными приращениями Dz и Dn:

.

Dn/n=0,01 по условию задачи. Подставляя значения, получим Dz=4,23 мм.

Ответ: Dz=4,23 мм

Задача 5 Вычислить удельные теплоемкости с_v и с_p смеси неона и водорода. Массовые доли газов w₁=0,8 и w₂=0,2. Значения удельных теплоемкостей газов – неон: с_v=6,24 ; c_p=1,04 ; водород: с_v=10,4 ; с_p=14,6 .

w1 = 0,8 w2 = 0,2 cV1 = 6,24 кДж/кг × К cp1 = 1,04 кДж/кг × К cV2 = 10,4 кДж/кг × К cp2 = 14,6 кДж/кг × К	Решение Теплоту, необходимую для нагревания смеси на DТ, выразим двумя соотношениями: , (1) где сv – удельная теплоемкость смеси, M1 – масса неона, M2 – масса водорода, и , (2) где cv1 и сv2 – удельные теплоемкости неона и водорода соответственно.
cp -? cv -?	Приравняв правые части выражений (1) и (2) и разделив обе части полученного равенства на DТ, найдем:

,

откуда .

Отношения и выражают массовые доли неона и водорода соответственно. С учетом этих обозначений последняя формула примет вид:

,

Подставляя значения, получим с_v=2,58×10³ .

Таким же образом получим формулу для вычисления удельной теплоемкости смеси при постоянном давлении:

Подставляя значения, получим с_р=3,7310³ .

Ответ: с_v=2,58×10³ ; с_р=3,7310³ .

Задача 6 Кислород массой M=2 кг занимает объем v₁=1 м³ и находится под давлением p₁=2атм= 2,02×10⁵ Па. Газ был нагрет сначала при постоянном давлении до объема V₂=3 м³, а затем при постоянном объеме до давления

p₂=5атм=5,05×10⁵ Па. Найти изменение внутренней энергии газа DU, совершенную им работу А и теплоту, переданную газу. Построить график процесса.

M = 2 кг V1 = 1 м^3 p1 = 2,02× 10^5Па p – const V2 = 3 м^3 V – const p2 = 5,05 × 10^5Па	Решение Изменение внутренней энергии газа определяется по формуле . (1) Из уравнения Менделеева - Клапейрона , выразим температуру: . (2) Подставляя в формулу (2) значения давления и объема, получим значения температуры: Т1=389 К, Т2=1167 К. Из уравнения (1) DU=3,28×10^6 Дж. Работа рассчитывается по формуле при p=const А1=0,404×10^6 Дж;
D U -? A -? Q -?

V=const А₂=0.

Полная работа, совершенная газом: А=А₁+А₂=0,404×10⁶ Дж.

Дата добавления: 2014-12-29