Обчислювальний експеримент. Алгоритм роботи з моделлю

Алгоритм роботи з моделлю

– п. 1: замість k увести до вхідних даних параметри p та q;

– п. 4: обчислювати приріст кількості особин Δ N_і згідно (6):

Δ N = (p – q·N) ·N· Δ t.

Зауваження 3. Воно стосується конкретних значень коефіцієнтів моделі p і q. У випадках, коли вони заздалегідь невідомі, можна вдатись до одного з перелічених нижче заходів:

а) виконати натурний експеримент, в ході якого отримати якомога більше значень для N та Δ N, що відповідають різним моментам часу, а далі методами математичної статистики визначити шукані параметри p та q;

б) спробувати визначити їх хоч би орієнтовно за допомогою
додаткових теоретичних міркувань;

в) добирати їх інтуїтивно шляхом послідовних спроб, так щоб результати забезпечували хоч би задовільну адекватність моделі.

1. Скористаємося останнім зауваженням і на основі обчислювального експерименту з моделлю після декількох спроб введемо такі дані: N ₀= 100; р = 5; q = 0,01; Δ t = 0,01.

З таблиці й графіка N = N (t) на рис. 4.2 бачимо, що з плином часу чисельність карасів у ставку зростає, наближаючись до деякої верх­ньої межі (в нашому випадку до 500 особин), а далі підтримується постійною, тобто популяція приходить у рівноважний стан. Саме з цього моменту приріст чисельності Δ N стає й залишається надалі
рівним нулю (чорна крива). При цьому чисельність популяції зростає на 400 особин порівняно з початковою.

	A	B	C	D	E
	t	Δ N	N	Дано:
	0,00			N 0=
	0,01			p =
	0,02			q =	0,01
	0,03			Δ t =	0,01
	0,04
	0,05
	0,06
	0,07
...	...	...	...

Рис. 4.2

Розглядаючи значення змінних у стовпцях В і С, можна побачити, що в комірках С6 і С9 ці значення не відповідають формулі
N_і = N_{і -1} + Δ N_і.

Поясніть, у чому полягає ця невідповідність?

До речі, цей факт є платнею за заміну формату дійсних чисел на цілий.

Як можна в цьому переконатись?

2. Візьмемо початкову кількість особин N ₀ = 800 (на 300 більше за виявлену межу), а решту параметрів залишимо з попередніми значеннями. З таблиці та відповідних графіків бачимо, що тепер із плином часу чисельність «населення» у ставку монотонно зменшується, аж поки знов не стабілізується. Але, що цікаво, стабілізація відбувається на попередній межі – 500 особин!

3. Переконайтесь у тому, що, експериментуючи з довільними значеннями N ₀, ми кожного разу будемо одержувати те саме граничне значення N _гр = 500 особин (рис. 4.3, 4.4).

Зауваження 4. Ситуація, з якою ми зустрілися, в природних процесах достатньо поширена і заслуговує на більш докладне обговорення. Цю ситуацію можна було б передбачити, і не виконуючи
обчислювальний експеримент. Дійсно, якщо деяка модель має рівноважні стани, то в цих станах приріст чисельності Δ N повинен бути рівним нулю (це видно з таблиці). З виразу (6) неважко побачити, що Δ N = 0 за умови, що нулю дорівнює вираз у дужках, тобто
p – q·N = 0, звідки

N _гр = p/q

Цей вираз називають умістом середовища.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

N ₀ = 200; N_гр = 500 N ₀ = 800; N_гр = 500

4. Цікаву картину являють одночасно виведені на екран графіки N = N (t) – залежності кількості особин від часу для N ₀ = 200 і N ₀ = 800 (рис. 4.5).

Рис. 4.5

Цей рисунок фактично поєднує рис. 4.3 і рис. 4.4 й ілюструє той факт, що згідно прийнятої моделі за будь-якої початкової кількості особин N ₀ їхня остаточна кількість із плином часу завжди встановлю­ється рівною вмісту середовища N _гр.

Вправа. Самостійно побудуйте графіки згідно рис. 4.5.

Звертає на себе увагу ще одна особливість: хоч числа 200 і 800 є симетричними відносно 500, отримані графіки не є симетричними: графік для N ₀ = 800 спадає крутіше, аніж зростає графік для N ₀ = 200.

Які міркування про те, що саме так і має бути, ви б могли тут навести?

Справа в тому, що при N ₀< N_гр населення ставка (200 особин) помітно не конкурує, і деякий час значення приросту зростають повільно. Якщо ж N ₀> N_гр, то фактор конкуренції починає проявляти себе із самого першого моменту, що й призводить до різкого зменшення чисельності. Отже, якщо розглядати процеси в ставку протягом деякого часу, починаючи від моменту t = 0, то швидкість зростання кількості особин при N ₀< N_гр. завжди змінюється повільніше, ніж швидкість убування при N ₀> N_гр.

5. Нагадаємо, що середню швидкість зміни чисельності Δ N /Δ t можна досліджувати за графіком Δ N = Δ N (t).

5.1. Виведемо на екран графіки залежності Δ N = Δ N (t) для N ₀ = 200 і N ₀ = 800 (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Відразу ж бачимо, що перший з них не є монотонним, а має максимум; другий – монотонно зростає до нуля. Наявність максимуму у першого графіка показує, що швидкість приросту спочатку зростає, а потім спадає до нуля, тому що чисельність N особин перестає бути змінені. Цей факт для нас не є несподіваним і наводиться тут лише як вправа для тренування дуже корисних (зокрема, в моделюванні)
навичок аналізу інформації, поданої в графічній формі. Так, маючи графік швидкості зміни деякої величини, бажано вільно уявляти собі поведінку самої цієї величини.

5.2. Тепер ще раз виведіть на екран графік залежності N = N (t).

Графіки яких функцій нагадують вам окремі ділянки цього графіка?

6. Виконайте експерименти з величиною p/q – вміст середовища. Для визначеності введіть такі дані:

N ₀ = 10; p = 1,7; q = 0,02; Δ t = 0,1 (рис. 4.7).

Порівняйте новий вміст середовища N_гр за таблицею і за розрахунковою формулою.

Рис. 4.7

Дата добавления: 2015-01-03