Числа Фибоначчи. Используя метод рекуррентных соотношений, можно по-новому вывести формулу для вычисления числа перестановок из k предметов

Пример.

Используя метод рекуррентных соотношений, можно по-новому вывести формулу для вычисления числа перестановок из k предметов.

Обозначим за Р(k) количество перестановок из элементов k типов. В перестановке на первом месте может быть любой из k предметов, а оставшиеся k–1 предмет можно в каждом из этих случаев переставить Р(k–1) способами. По правилу произведения получаем формулу Р(k)=k∙Р(k-1). Далее замечаем, что Р(1)=1, и получаем, что Р(k)=k!

Формула, которую мы получили при решении задачи о домино, впервые была опубликована в книге “Liber Abaci”, появившейся в 1202 году, где итальянский математик Фибоначчи среди многих других задач привел следующую:

Пара кроликов приносит раз в месяц приплод из двух крольчат (самки и самца), причем новорожденные крольчата через два месяца после рождения уже приносят приплод. Сколько кроликов появится через год, если в начале года была одна пара кроликов?

Из условия задачи следует, что через месяц будет две пары кроликов. Через два месяца приплод даст только первая пара кроликов, и получится 3 пары. А еще через месяц приплод дадут и исходная пара кроликов, и пара кроликов, появившаяся два месяца тому назад. Поэтому всего будет 5 пар кроликов.

Обозначим через F(n) количество пар кроликов по истечении n месяцев с начала года. Мы видим, что через n +1 месяцев будут эти F(n) пар и еще столько новорожденных пар кроликов, сколько было в конце месяца n —1, то есть еще F(n–1) пар кроликов. Иными словами, имеет место рекуррентное соотношение

F(n+1)=F(n)+F(n-1).

Так как, по условию, F(0)=1 и F(1)=2, то последовательно находим

F(2)=3, F(3)=5 F(4)=8 и т. д.

Полученные числа называют числами Фибоначчи.

Чтобы найти F(12), нам придется последовательно вычислить F(3), F(4), … F(11), что достаточно долго. А если нам необходимо было бы вычислить F(100), то это займет еще больше времени. Попробуем выразить закономерность последовательности Фибоначчи с помощью расчетной формулы (вместо неявного рекуррентного соотношения). Для этого присвоим двоичный номер каждой паре кроликов. Единицам соответствуют месяцы появления на свет одной из пар “предков” данной пары (включая и исходную), а нулями – все остальные месяцы. Например, последовательность 010010100010 устанавливает такую “генеалогию” – сама пара появилась в конце 11-го месяца, ее родители – в конце 7-го месяца, “дед” – в конце 5-го месяца, “прадед” – в конце второго месяца. Исходная пара кроликов зашифровывается при этом последовательностью 000000000000. в последовательности не могут идти подряд две единицы, так как кролики приносят приплод только на второй месяц после рождения.

Тем самым устанавливается связь между числами Фибоначчи и следующей комбинаторной задачей: найти число n -последовательностей, состоящих из нулей и единиц, в которых никакие две единицы не идут подряд. Число таких последовательностей, в которые входит ровно k единиц и n — k нулей, равно . Так как при этом должно выполняться неравенство k<=n–k+1, то k изменяется от 0 до целой части числа (n+1)/2. Применяя правило суммы, получаем F(n)= , где p – целая часть числа (n+1)/2.

К сожалению, задачу нельзя считать решенной, так как, хотя получено выражение, зависящее от n, его вычисление оказывается даже сложнее рекуррентных расчетов. Желаемую формулу можно получить совсем другим способом.

Дата добавления: 2015-01-03