Шестнадцатеричная система счисления. Двоичная система счисления

Двоичная система счисления

Десятичная система счисления

В числе 2468 каждая цифра имеет свой вес. Умножив значение цифры на ее вес, мы получим значение числа:

2*1000 + 4*100 + 6*10 + 8*1 = 2468₁₀

Или используя степени числа 10:

2*10³ + 4*10² + 6*10¹ + 8*10⁰ = 2468₁₀

Число десять является основанием системы счисления, отсюда и название - десятичная. Вес каждого следующего разряда можно получить, умножив вес предыдущего на основание системы счисления.

Двоичное представление чисел основано на степенях числа 2:

10011011₂ = 1*2⁷ + 0*2⁶ + 0*2⁵ + 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ = 155₁₀

Или достаточно сложить веса ненулевых цифр:

128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 0 + 2 + 1 = 155₁₀

Удобно под каждой цифрой записывать ее вес следующим образом:

1 0 0 1 1 0 1 1 = 155₁₀

128 64 32 16 8 4 2 1

Первый способ перевода десятичного значения в двоичное:

1. Под позициями цифр будущего двоичного представления числа справа на лево записываются веса цифр, пока вес не превысит значения числа. Вес очередного разряда получается удвоением веса предыдущего.

2. Значения разрядов двоичного числа получаем слева на право: если число больше очередного разряда, то ставим 1 и вычитаем вес разряда из значения числа.

Второй способ. Заполняем таблицу:

Операция	Результат	Остаток
155/2
77/2
38/2
19/2
9/2
4/2
2/2
1/2

Так, как остаток при первом делении определяет четность числа, то сначала в столбце остатка мы получили самый младший разряд. Следовательно, разряды числа выписываем из этого столбца, начиная с нижнего.

Для более компактной записи двоичных чисел применяется шестнадцатеричная система счисления. В шестнадцатеричной системе цифр должно быть 16. Недостающие цифры представлены буквами. Поэтому счет ведется следующим образом: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, 10, 11, …, 19, 1A, 1B, 1C, 1D, 1E, 1F, 20, 21 и т.д.

Перевод в десятичную систему осуществляется аналогично:

FD4 = 15*16² + 13*16¹ + 4*16⁰ = 4052₁₀

Или с помощью весов цифр:

15*256 + 13*16 + 4*1 = 4052₁₀

Шестнадцатеричное число можно легко преобразовать в двоичное, заменяя каждую шестнадцатеричную цифру двоичной тетрадой в соответствии с таблицей:

Значение цифры
Десятичное	Шестнадцатеричное	Двоичное
	A
	B
	C
	D
	E
	F

Например:

D4CF = 1101 0100 1100 1111

Преобразование десятичных чисел в шестнадцатеричные:

В качестве примера выполним обратное преобразование числа 691 в шестнадцатеричное представление.

Первый способ:

1. Под позициями будущих шестнадцатеричных цифр числа записываем их веса: 1, 16, 256, 4096, 65536, и т.д. Вес каждого следующего разряда получается путем умножения предыдущего веса на 16 (основание системы). Вес разряда, который превышает значение числа, уже не записываем.

= 4052₁₀

256 16 1

2. Делим значение числа на вес цифры (слева на право):

4052 / 256 = 15 (это F)

3. Целую часть результата записываем как значение разряда (0 – F) над его весом F

256 16 1

4. Вычитаем из числа то значение, которое мы уже учли:

4052 – 256 * 15 = 212

5. Повторяем действия, начиная с пункта 2, пока не закончатся разряды:

212 / 16 = 13 (это D)

F D

256 16 1

212 – 16 * 13 = 4 (4 есть 4…)

Получаем: F D 4 = 4052₁₀

256 16 1

Второй способ. Заполняем таблицу:

Операция	Результат	Остаток
4052 / 256
212 / 16
4 / 1

Что из таблицы следует выписывать и в каком порядке, определите сами.

Дата добавления: 2014-12-23