Критерий согласия для сложных гипотез

Границы применимости критерия на практике.

Утверждения теоремы Пирсона и (52) относятся к пределам при . На практике, конечно, мы имеем дело лишь с выборками ограниченного объема. Поэтому, применяя вышеописанный критерий, необходимо проявлять осторожность. Согласно рекомендациям, изложенным в [7], применение критерия дает хорошие результаты, когда все ожидаемые частоты . Если же какие-то из этих чисел малы, рекомендуется, укрупняя некоторые группы, перегруппировать данные таким образом, чтобы ожидаемые частоты всех групп были не меньше десяти. Если число достаточно велико, то, как указывается в книге [13], порог для ожидаемых частот может быть понижен до или даже до , если имеет порядок нескольких десятков.

На практике задача о согласии данных наблюдений с некоторым совершенно конкретным распределением, рассмотренная в 9.2, встречается реже, чем задача проверки сложной гипотезы, которую мы рассматриваем ниже. Итак, рассмотрим независимую выборку , соответствующую неизвестной функции распределения . Поставим вопрос о том, согласуются ли данные наблюдений со сложной гипотезой

где -- (вообще говоря) многомерный параметр. В эту формальную схему можно включить, например, рассмотрение гипотезы о принадлежности к классу показательных распределений (без уточнения параметра показательного распределения) и т. п.

Группируя данные аналогично 9.2 и вычисляя по функции распределения , обнаруживаем, что теперь эти вероятности являются функциями от неизвестного параметра:

Это обстоятельство делает невозможным непосредственное воспроизведение метода 9.2, так как, если бы мы подставили эти вероятности в (51), то мы бы получили совершенно непригодную с практической точки зрения функцию: ведь для ее вычисления, кроме полученных в эксперименте данных , требовалось бы также знать сами неизвестные параметры. Чтобы выйти из положения, следует подставить в вместо параметра его оценку , вычисленную по выборке. Это можно сделать разными способами, но мы остановимся на одном из них.

Пусть числа , , вычислены по выборке согласно формуле (50). Запишем следующую функцию правдоподобия

Находя значение , при котором эта функция максимальна, получим оценку наибольшего правдоподобия . Особо отметим, что для ее вычисления достаточно знать только . По аналогии с (51) определим

(53)

Справедлив следующий вариант теоремы Пирсона ⁵: Предположим, что гипотеза верна. Тогда при распределение величины , определяемой по формуле (53), сходится к распределению хи-квадрат с степенью свободы.

Заметим, что по сравнению с теоремой из 9.2 за замену -мерного неизвестного параметра его оценкой нам пришлось ``заплатить'' степенями свободы в предельном распределении хи-квадрат.

В дальнейшем, фиксируя и выбирая критическое множество

получим искомый критерий уровня значимости для проверки сложной гипотезы .

Все примечания относительности применимости этого критерия, сделанные в 9.2, разумеется, остаются в силе.

Дата добавления: 2014-12-24