Практична частина

Приклад 2.1. Сигнал має математичну модель:

Дайте графічне зображення сигналу та запишіть математичну модель сигналу у вигляді одного аналітичного виразу.

Розв’язування. Зобразимо заданий сигнал графічно (рис. 2.8).

		Згідно заданій математичній моделі бачимо, що сигнал є кусково-неперервною функцією, що складається із трьох кусків, при умові, що сигнал необмежений в часі. Його можна розглядати і як прямокутний імпульс на інтервалі .

Рис. 2.8.

З допомогою функції включення (функції одиночного стрибка) математичну модель сигналу запишемо в вигляді одного аналітичного виразу:

.

Приклад 2.2. Дано графічне зображення сигналу (рис. 2.9). Записати математичну модель в аналітичній формі як кусково-неперервну функцію, а потім у вигляді одного аналітичного виразу.

Рис. 2.9. Рис. 2.10.

Розв’язування. Функція кусково-неперервна, що має три характерні ділянки, аналітичні вирази яких мають вигляд:

Рівняння на відрізку можна одержати із пропорції .

Задане графічне зображення (рис. 2.10) сигналу при подамо як суму двох лінійних сигналів та з однаковими за модулем, але різним за знаком значенням кута a (рис. 2.10).

Визначимо функції та , використовуючи функцію вмикання:

, ;

, .

Знаходимо функцію :

.

Приклад 2.3. Задано трикутний імпульс напруги з амплітудою U. Тривалість імпульсу (рис. 2.11). Обчислити енергію та відповідну норму заданого сигналу U (t).

Рис. 2.11.

Розв’язування. Математичну модель сигналу запишемо у вигляді аналітичного виразу:

Енергія сигналу (імпульсу):

.

Відповідна даній енергії норма імпульсу

.

Приклад 2.4. Визначити енергію та відповідну норму радіоімпульсу з прямокутною формою огинаючої. Радіоімпульс існує на інтервалі і описується функцією .

Довідка. Для здійснення передачі сигналу на значні відстані без суттєвих втрат інформації, його помножують на високочастотну гармоніку , тобто передають у вигляді високочастотної гармоніки із змінною амплітудою . Після передачі сигналу , який називають радіоімпульсом, його фільтрують і знов одержують сигнал , який називають відеоімпульсом. Проілюструємо це у вигляді графіків (рис. 2.12).

		радіоімпульс
		відеоімпульс

Рис. 2.12.

Розв’язування. Так як радіоімпульс має сталу амплітуду U ₀, то він має прямокутну форму, що визначається огинаючими U = ± U ₀.

Рис. 2.13.

Визначимо енергію радіоімпульсу:

.

Тут була здійснена заміна , тому , а . Якщо w ₀ достатньо велике, таке що , то енергія радіоімпульсу

.

Тобто значення енергії радіоімпульсу при високій частоті несучої гармоніки практично не залежить від початкової фази та самого значення w ₀. Звідси особлива роль енергетичної характеристики.

Норма радіоімпульсу

.

Зауваження. При визначенні інтегралу ми скористались його табличним значенням.

Корисно запам’ятати, що

;

.

Приклад 2.5. Задано відео імпульс у вигляді півперіоду синусоїди на відрізку , висота якого U (рис. 2.14).

		Підібрати амплітудуАпрямокутного імпульсу тієї ж тривалостіTSтак, щоб відстань між двома сигналами та була мінімальною. Знайти при цьому кут між сигналами.

Рис. 2.14.

Розв’язування. Аналітичну форму сигналів запишемо у вигляді

При визначенні на інтервалі була використана пропорція

.

Знайдемо квадрат відстані між сигналами:

.

Обчислимо кожний із трьох інтегралів окремо.

.

.

.

Отже,

. (2.29)

Умова мінімальної відстані в залежності від А має вигляд

.

Звідки

. (2.30)

Визначимо , підставивши (2.29) в (2.30).

.

.

Знайдемо енергію імпульсів:

;

;

.

Визначимо норми сигналів:

; .

Знайдемо кут між сигналами

.

Отже, .

Приклад 2.6. Дано дві тривимірні вибірки: x (n)= (4; −4; 7) та y (n)= (3; −2; 6). Знайти відстань і кут між вибірками та складову вибірки х в напрямку вибірки у.

Розв’язування. Вибірку ототожнюємо із тривимірними векторами. Визначимо норми вибірок:

.

.

Знайдемо відстань між вибірками як їх метрику

.

Скалярний добуток вибірок

.

Знайдемо кут між вибірками

.

Одиничний вектор в напрямку вибірки y:

.

Тому, складова вибірки x в напрямку вибірки y дорівнює:

.

Приклад 2.7. Сигнали та прямокутні відеоімпульси з амплітудами А ₁ та А ₂, тривалості Т ₁ та Т ₂ зображені на рис. 2.15. Обидва сигнали одночасно відрізняються від нуля на інтервалі t. Визначити кут між сигналами.

Рис. 2.15.

Розв’язування. Спочатку знайдено скалярний добуток сигналів:

.

Визначимо норми сигналів:

;

.

Визначимо кут між сигналами:

.

Як бачимо, величина кута між прямокутними імпульсами не залежить від їх амплітуд А ₁ та А ₂.

Приклад 2.8. Задані два сигнали: прямокутний відеоімпульс та експоненціальний відеоімпульс Вважаючи тривалість Т прямо­кутного імпульсу фіксованою, визначити величину метрики .

Розв’язування. Знайдемо квадрат відстані між сигналами:

.

.

.

.

Отже,

.

Величина метрики як відстань між сигналами дорівнює

.

Дата добавления: 2014-12-24