Линейный динамический элемент

Математические методы исследования динамических систем.

Поскольку динамическая система имеет в своем составе хотя бы один динамический элемент, то вначале изучим поведение динами­ческого элемента.

Нелинейный динамический элемент n-го порядка задается сле­дующим уравнением:

где х(t) — входное воздействие на элемент (вход);

у(t) — реакция элемента на входное воздействие (выход);

В частности, линейный динамический элемент n-го порядка за­дается следующим линейным дифференциальным уравнением:

Наиболее часто в практических приложениях встречаются эле­менты нулевого порядка (мультипликатор, акселератор), первого порядка (инерционное звено) и второго порядка. Звено второго по­рядка может быть колебательным звеном либо двумя последователь­но соединенными инерционными звеньями.

Мультипликатор — линейноe статическое звено, задаваемое уравнением:

a — коэффициент усиления.

Например, валовые инвестиции I (вход) следующим образом связаны с валовым внутренним продуктом Y (выход)

где р — доля валовых инвестиций в ВВП,

— коэффициент усилении (мультипликатор), который

показывает насколько должен быть увеличен ВВП для увеличения валовых инвестиций на единицу. Таким образом, в широком смысле, мультипликатор — усилительное линейное статическое звено, в узком смысле — сам коэффициент усиления.

Акселератор — дифференцирующее звено нулевого порядка, выход которого пропорционален скорости входа,

Например, инвестиции могут быть выражены через скорость изменения ВВП следующим образом:

где r — коэффициент акселерации, т. е. прирост потребности в инвестициях при увеличении ВВП на единицу.

При дискретности времени Δt или Δt = 1 (один год) то же уравнение выглядит следующим образом:

Инерционное звено задается дифференциальным уравнением первого порядка:

Путем деления уравнения на а₀ его можно привести к стандартному виду:

Где (смысл постоянной времени Т будет выяснен ниже).

Инерционное звено описывает процесс отработки заданного модного воздействия x(i) (значок «тильда» опустим), при этом скорость отработки пропорциональна разности между входом b выходом:

Дата добавления: 2014-12-24