Корреляционные и спектральные характеристики

Важными характеристиками СП являются ковариационные и корреляционные функции, которые устанавливают вероятностную связь значений СП в моменты, разделённые промежутком времени .

Ковариационная функция СП равна математическому ожиданию произведения значений случайного процесса в моменты времени .

(7.6)

Корреляционная функция СП равна ковариационной функции центрированного СП

(7.7)

Нормированная корреляционная функция СП равна отношению корреляционной функции к произведению средних квадратических отклонений СП в моменты времени

(7.8)

Мерой когерентности между двумя процессами может служить взаимная ковариационная и взаимная корреляционная функции.

Взаимная ковариационная функция СП равна математическому ожиданию произведения значений двух СП в моменты времени .

(7.9)

Взаимная корреляционная функция СП равна ковариационной функции двух центрированных СП

(7.10)

Нормированная взаимная корреляционная функция СП равна отношению корреляционной функции к произведению средних квадратических отклонений СП в моменты времени

(7.11)

Для стационарных эргодических процессов ковариационная функция может быть определена следующим образом

, (7.12)

где - одна из возможных реализаций стационарного эргодического СП.

Для определения в соответствии с приведённым выражением очевидно необходимо выполнить усреднение по времени. Чем больше время усреднения Т, тем точнее значение корреляционной функции. Используя это же выражение, легко получить соотношения между ковариационными и корреляционными функциями в виде

(7.13)

(7.14)

Большое практическое значение имеют некоторые свойства корреляционных функций:

-ковариационная (корреляционная) функция СП является чётной, т.е. , что вытекает из определения стационарного процесса, т.е. из условий независимости его характеристик от начала отсчёта времени;

-взаимная ковариационная (корреляционная) функция СП является нечётной, т.е. и для неё справедливы соотношения ;

-абсолютное значение ковариационной функции при любом не может превышать её значение при , что следует из очевидного неравенства, определяемого условием неотрицательности математического ожидания положительной функции

-ковариационная функция при равна среднему значению квадрата случайной функции , являющемуся максимальным её значением в соответствии с выражением , что определяет соотношение , где величина характеризует полную мощность процесса, мощность переменной составляющей, - мощность постоянной составляющей СП;

-для многих стационарных СП справедливо соотношение при , что физически означает конечное значение интервалов корреляции гидроакустических процессов, а следовательно некоррелированность значений процесса, разделённых временем, превышающим этот интервал.

Наличие периодической составляющей в процессе также проявляется в . Корреляционная функция стационарного СП должна также удовлетворять условию , а поскольку корреляционные функции характеризуют степень связи между СП и зависят от их дисперсий, для более удобной количественной оценки степени линейной зависимости СП широко пользуются нормированными корреляционными и взаимными корреляционными функциями. При линейной связи СП нормированная взаимная корреляционная функция в любой момент времени равна , для независимых СП она равна нулю. Независимые СП всегда являются некоррелированными, но обратное утверждение неверно, так как условие независимости является более жёстким.

Для оценки корреляционных связей пользуются понятием интервала корреляции, под которым понимают наибольший интервал времени (пространства), на котором корреляционная связь между значениями СП существенна для решаемой задачи. В гидроакустической практике существенным в ряде случаев считают значение огибающей корреляционной функции порядка (5-10)% от её максимального значения. Понятие интервала корреляции полезно при рассмотрении влияния помех на приём гидроакустических сигналов. Если, например, сигналы на временной оси расположены на расстоянии большем интервала корреляции помехи, то можно считать независимым воздействие помехи на каждый из них. На практике интерпретируют интервал корреляции как основание прямоугольника, имеющего площадь, равную заключённой под кривой корреляционной функции (в положительной области значений ) и высоту, равную максимальному значению , т.е. . Математически это записывается следующим образом:

, или учитывая, что , можно также пользоваться выражением . (7.15)

Широкое использование в гидроакустике имеют спектральные представления, которые для детерминированных сигналов основаны на представлении сигналов рядом или интегралом Фурье. Это позволяет сравнительно просто определить преобразования сигналов линейными системами, зная комплексные частотные характеристики системы и используя принцип суперпозиции. Комплексный спектр , заданный на интервале (- может быть представлен в виде комплексного ряда Фурье:

, (7.16)

где коэффициенты С_к равны

. (7.17)

Этот комплексный спектр можно записать в виде

, где называют амплитудным, а - фазовым спектром. Распространением гармонического анализа на СП является введение для стационарных СП спектральной плотности мощности, которая характеризует распределение мощности процесса по частотному диапазону. Спектральная плотность мощности (СПМ) в некотором небольшом участке частотного диапазона определяется как отношение мощности процесса, которая приходится на этот участок, к его ширине. СПМ процесса связана с комплексным спектром соотношением

при Т , (7.18)

т.е. СПМ процесса прямо пропорциональна средней за период реализации Т мощности всех спектральных составляющих процесса в соответствующей полосе частот. Согласно свойству эргодичности СПМ, полученная по одной реализации, действительна для всего ансамбля реализаций стационарного СП. СПМ зависит от источника, который её формирует, а также от цепей, через которые она проходит.

СПМ характеризует скорость протекания процесса, она имеет размерность , если вычисляется дисперсия и или , если вычисляется среднее квадратическое отклонение. Часто оперируют СПМ в зависимости от линейной частоты, т.е. и тогда в размерностях вместо рад/с будет Гц. В гидроакустике широкое распространение получили оценки спектральной плотности усреднённого квадрата акустического давления с размерностью Па²/Гц и усреднённого давления, равного с размерностью Па/Гц^1/2. Эти величины используют для оценок спектральных уровней первичных и вторичных акустических полей различных объектов, полей помех работе ГАС.

Если процесс имеет ограниченный спектр, то говорят об эффективной ширине спектра процесса, под которой понимают длину наибольшего отрезка по оси частот, на котором спектр СП имеет существенное для решаемой задачи значение. На практике ширину спектра определяют либо по уровню половинной мощности, либо как ширину прямоугольника, по высоте равного максимальному значению СПМ и имеющего такую же площадь, как заключённая между кривой СПМ и осью абсцисс

(7.19)

Частоту, расположенную посередине между крайними частотами симметричного спектра, называют центральной частотой спектра , а для несимметричных спектров оперируют понятием средневзвешенной частоты спектра, определяемой выражением

(7.20)

Спектры, у которых средняя частота много больше, чем ширина спектра, называют узкополосными, а если она соизмерима – широкополосными. В гидроакустической практике узкополосными считаются спектры, если .

Дата добавления: 2014-12-24