Мішаний добуток векторів

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює

.

З означення випливає:

1) Мішаний добуток векторів дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто = .

Рис. 3.3

Розглянемо геометричний зміст змішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 2.9).

Знайдемо об’єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 2.9). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (3.6)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів .

.

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .

ПРИКЛАДИ:

1. Дано: і . Обчислити .

. , звідки = . Оскільки >0, то .

= = .

Отже, = .

2. Трикутник задано вершинами А (1; ‑1; 2), В (5; ‑6; 2), С (1; 3; ‑1). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини В на сторону АС.

Розв’язання:

та :

, тобто і

3. На точку А (4; 2; ‑3) діють дві сили та . Знайти момент рівнодіючої цих сил, його величину та напрямні косинуси відносно точки В (2; 4; 0).

Розв’язання:

Знайдемо рівнодіючу заданих сил та вектор момент сили знаходиться за формулою:

Напрямні косинуси вектора моменту сили відповідно дорівнюють

4. Три вершини тетраедра знаходяться в точках А (2; 1; -1), В (3; 0; 1), С (2; -1; 3). Знайти координати четвертої вершини D, яка належить вісі Оу, якщо об’єм тетраедра дорівнює 3 куб. од.

Розв’язання:

Оскільки точка D належить вісі Оу, то її координати (0; у; 0). Об’єм тетраедра ABCD можна розглядати як об’єму паралелепіпеда, побудованого на векторах як на ребрах:

.

Розв’язуючи це рівняння, дістанемо, що отже .

5. Довести, що чотири точки лежать в одній площині.

Розв’язання:

Для того, щоб довести, що чотири точки лежать в одній площині, достатньо довести, що три вектора компланарні. За спільний початок векторів виберемо точку А, тоді:

Вектори будуть компланарними тоді, коли їх мішаний добуток дорівнює нулеві.

= ‑2+12‑8‑2=0.

Отже, одержали, що вектори компланарні, тому точки A, B, C, D належать одній площині.

6. Задана піраміда з вершинами в точках А (1; 2; 3), В (‑2; 4; 1), С (7; 6; 3), D (4; ‑3; ‑1). Знайти:

а) довжину ребер ;

б) площу грані АВС;

в) кут між ребрами і ;

г) об’єм піраміди;

д) довжину висоти, опущеної на грань АВС.

Розв’язання:

а) Знайдемо вектори .

Знайдемо модулі цих векторів:

б) Площа грані АВС буде дорівнювати:

в) Кут між ребрами і знайдемо за формулою:

г) Об’єм піраміди обчислимо за формулою:

д) Довжину висоти h, опущеної на грань АВС, можна знайти, користуючись формулою:

звідки

Таким чином

Дата добавления: 2014-12-24