Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость системы векторов. Размерность и базис линейного пространства

Однородные система уравнений. Фундаментальная система решений.

Система однородных уравнений всегда имеет нулевое решение. Если ранг матрицы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений. Для того, чтобы система имела ненулевые решения, необходимо, чтобы ее определитель был равен нулю.

Рассмотрим непустое множество элементов, которые будем обозначать через x, y, z, … и множество действительных чисел. На этом множестве введем две операции (сложение и умножение). Пусть эти две операции подчиняются аксиомам:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

V; x, y, z, … V

Множество V с двумя операциями, удовлетворяющее аксиомам называется линейным пространством.

Элементы линейного пространства называются векторами, обозначаются , , . Существует единственный нулевой элемент, для каждого элемента существует единственный противоположный.

Линейная зависимость и независимость системы векторов. Пусть имеется n векторов.

Составим линейную комбинацию:

, если система n векторов – линейно-зависима.

Если среди n векторов какие-то k линейно-зависимы, то вся система векторов является линейно-зависимой.

Если система n векторов линейно-независима, то любая часть из этих векторов будет тоже линейно-независимой.

Размерность и базис линейного пространства. Пусть система n векторов линейно-независима, а любая система n+1 векторов – линейно-зависима, тогда число n называют размерностью пространства. dimV=n

Система этих n линейно-независимых векторов называется базисом линейного пространства. Рассмотрим систему n+1 векторов.

Такое представление называется разложение по базису, а числа называют координатами вектора.

Разложение любого вектора в выбранном базисе - единственно.

Дата добавления: 2014-12-25