Приклад розв’язання задачі

Прискорення точки при координатному способі задання її руху

Нехай рух точки задано в декартовій системі координат:

; ; .

Визначимо вектор швидкості точки у вигляді:

,

де , , – орти відповідно координатних осей , , .

Тоді, вектор прискорення дорівнює:

. (12.16)

Проектуючи векторну рівність (12.16) на осі , , і враховуючи формули (12.6), одержимо формули для проекцій вектора прискорення на координатні осі:

; . (12.17)

Отже, проекції вектора прискорення точки на нерухомі координатні осі дорівнюють першим похідним за часом від відповідних проекцій швидкості або другим похідним за часом від відповідних координат точки.

Знаючи проекції прискорення на координатні осі, його модуль і напрям знаходимо за наступними формулами:

, (12.18)

; ; .

Одиниці вимірювання прискорення точки – см/сек² або м/сек².

Приклад 1. Знайти рівняння траєкторії і швидкість точки середини шатуна АВ кривошипно-шатунного механізму, а також швидкість повзуна В (рис. 12.4), якщо см, радіан.

Розв'язання. Виберемо осі координат і з початком у точці О. Знайдемо рівняння руху точки шатуна. Для цього проведемо з точок та перпендикуляри і до осі . Координати точки визначаються з і :

;

.

Вилучивши з цих рівнянь руху точки час , і, використовуючи значення тригонометричної одиниці, одержимо рівняння траєкторії точки в координатній формі:

.

Це рівняння еліпса з напівосями 60 см і 20 см і центром в точці О.

Траєкторією точки є вся крива, оскільки та змінюються у відповідних межах.

; .

Проекції швидкості точки на координатні осі дорівнюють:

; .

Модуль швидкості точки М змінюється за такою залежністю:

(см/с).

Визначимо координати точки :

; .

Таким чином,швидкість точки В змінюється за законом:

(см/с).

Лінійка еліпсографа рухається так, що її кінці і ковзають вздовж двох взаємно перпендикулярних прямих, причому кут та змінюється відповідно до рівняння , де . Знайти прискорення точки лінійки, якщо , (рис. 12.5), врахо–вуючи, що .

Розв'язання. Прий–маючи прямі, по яким рухаються точки і лінійки, за координатні осі і з початком у точці , знаходимо рівняння руху точки:

; .

Вилучивши з цих рівнянь час , використовуючи значення тригонометричної одиниці, отримаємо рівняння траєкторії точки М вкоординатній формі:

1.

Це рівняння еліпса з напівосями і з центром на початку координат. Для інших точок лінійки траєкторіями будуть еліпси з іншими напівосями. На цьому принципі заснована конструкція еліпсографа – приладу для викреслювання еліпсів.

Користуючись послідовно формулами (12.6) і (12.17), визначаємо проекції швидкості і прискорення точки М на координатні осі:

;

; .

За формулами (12.17) знаходимо модуль і напрям прискорення розглядуваної точки :

;

; .

Отже, модуль вектора прискорення точки змінюється пропорційно відстані точки від початку координат, а спрямований цей вектор вздовж лінії від точки до центру .

Дата добавления: 2014-12-25