Теория вероятностей и математическая статистика

27.7.. 27.8..

27.5.. 27.6..

27.3.. 27.4..

27.1..27.2..

24.9.. 24.10..

24.7.. 24.8..

24.5.. 24.6..

24.3.. 24.4..

24.1.. 24.2..

Ряды

Дифференциальные уравнения

Задача 20. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальному условию при .

20.1. .

20.2. .

20.3. .

20.4. .

20.5. .

20.6. .

20.7. .

20.8. .

20.9. .

20.10. .

Задача 21. Найти общее решение дифференциального уравнения

21.1. . 21.2. .

21.3. . 21.4. .

21.5. . 21.6. .

21.7. . 21.8. .

21.9. . 21.10. .

Задача 22. Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, удовлетворяющее начальным условиям при .

22.1. .

22.2. .

22.3. .

22.4. .

22.5. .

22.6. .

22.7. .

22.8. .

22.9. .

22.10. .

Задача 23. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее начальным условиям .

23.1.

23.2.

23.3.

23.4.

23.5.

23.6.

23.7.

23.8.

23.9.

23.10.

Задача 24. Исследовать сходимость числового ряда .

Задача 25. Найти интервал сходимости степенного ряда .

25.1. . 25.2. .

25.3. . 25.4. .

25.5. . 25.6. .

25.7. . 25.8. .

25.9. . 25.10. .

Задача 26. Написать три первых члена степенного ряда по заданному общему члену , где ; найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах этого интервала.

26.1. 26.2. 26.3. 26.4. 26.5.

26.6. 26.7. 26.8. 26.9. 26.10.

Задача 27. Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировав его почленно.

27.9. . 27.10.

Задача 28. Выразить определенный интеграл в виде сходящего ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до .

28.1. 28.2. 28.3.

28.4. 28.5.

Выразить определенный интеграл в виде сходящегося ряда, используя ряд Маклорена для подынтегральной функции. Найти приближенное значение этого интеграла с точностью до 0,001.

28.6. 28.7. 28.8.

28.9. 28.10.

Задача 29

29.1. Студент знает 45 из 60 вопросов программы. Каждый экзаменационный билет содержит три вопроса. Найти вероятность того, что студент знает: а) все три вопроса; б) только два вопроса; в) только один вопрос экзаменационного вопроса.

29.2. В каждой из двух урн находится 5 белых и 10 черных шаров. Из первой урны переложили во вторую наудачу один шар, а затем из второй урны вынули наугад один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется черным.

29.3. Три стрелка в одинаковых и независимых условиях произвели по одному выстрелу по одной и той же цели. Вероятность поражения цели первым стрелком равна 0,9, вторым – 0,8, третьим – 0,7. Найти вероятность того, что: а) только один из стрелков попал в цель; б) только два стрелка попали в цель; в) все три стрелка попали в цель.

29.4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что в 1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.

29.5. Для сигнализации об аварии установлены три независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство, равна 0,9, второе – 0,95, третье – 0,85. Найти вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.

29.6. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаниях равна 0,02. Найти вероятность того, что в 150 испытаниях событие наступит 5 раз.

29.7. В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три окажутся дефектными.

29.8. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и независимых испытаниях равна 0,8. Найти вероятность того, что в 125 испытаниях событие наступит не менее 75 раз и не более 90 раз.

29.9. На трех станках при одинаковых и независимых условиях изготавливаются детали одного наименования. На первом станке изготавливается 10 %, на втором – 30 %, на третьем – 60 % всех деталей. Вероятность каждой детали быть бездефектной равна 0,7, если она изготовлена на первом станке, 0,8 – если на втором станке и 0,9 – если на третьем станке. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется бездефектной.

29.10. Два брата входят в состав двух спортивных команд, состоящих из 12 человек каждая. В двух урнах имеются по 12 билетов с номерами от 1 до 12. Члены каждой команды вынимают наудачу по одному билету из определенной урны (без возвращения). Найти вероятность того, что оба брата вытащат билет номер 6.

Задача 30. Случайная величина X задана функцией распределения F(x). Найти плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию случайной величины.

30.1. 30.2.

30.3. 30.4.

30.5. 30.6.

30.7. 30.8.

30.9. 30.10.

Задача 31. Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю , объемом выборки n и среднее квадратическое отклонение .

31.1. 31.2.

31.3. 31.4.

31.5. 31.6.

31.7. 31.8.

31.9. 31.10.

В задачах 32-36 исходные данные определяются по номеру зачетной книжки (шифру) студента. Положим значения A, B, C равными соответствующим трем последним цифрам шифра (отметим, что если какая-то цифра шифра равна 0, то соответствующее ей значение A,B или C принимается равным 10).

Задача 32. В каждой из трех урн содержится C черных и B белых шаров. Из первой урны наудачу извлечен один шар и переложен во вторую урну, после чего из второй урны наудачу извлечен один шар и переложен в третью урну. Найти вероятность того, что шар, наудачу извлеченный из третьей урны, окажется белым.

Задача 33. Имеется три партии деталей по (10 + A+B+C) деталей в каждой. Число стандартных деталей в первой, второй и третьей партиях соответственно равно (10 + A), (10 + B), (10 + C). Из наудачу взятой партии наудачу извлечена деталь, оказавшаяся стандартной. Затем из той же партии вторично наудачу извлекли деталь, также оказавшуюся стандартной. И, наконец, из той же партии в третий раз наудачу извлекли деталь, которая также оказалась стандартной. Найти вероятность того, что детали были извлечены из второй партии.

Задача 34. Случайная величина X задана функцией распределения F(x):

Требуется:

а) найти плотность распределения вероятностей;

б) построить графики интегральной и дифференциальной функций;

в) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины X;

г) определить вероятность того, что X примет значение, заключенное в интервале

Для задачи 3 необходимые параметры вычисляем по формулам:

Задача 35. Дано статистическое распределение выборки

где ;

Требуется:

1. Найти методом произведений выборочные: среднюю, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, асимметрию и эксцесс.

2. Построить нормальную кривую.

3. Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания M(X), полагая, что X имеет нормальное распределение, среднее квадратическое отклонение и доверительная вероятность .

Задача 36

Найти: 1) выборочное уравнение прямой регрессии Y на X;

2) выборочное уравнение прямой регресии X на Y.

Построить диаграмму рассеивания и графики уравнений регрессии по данной корреляционной таблице:

				C+7				18+C
				B+4	23-B-C			32-C
				17+B+C	40-B-C

где hx=0,7C;

=2,2A+0,3C; hy=0,6B; =y1+(i-1)hy, .

Дата добавления: 2014-12-26