Завдання для самостійної роботи

5.7. Розв’язати рівняння:

а) ; b) ; c) ; d) .

5.8. Розв’язати рівняння .

5.9. Зобразити на числовій осі точки, що задовольняють нерівності:

а) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) ;

g) .

5.10. Визначити, для яких значень геометрична прогресія із знаменником буде нескінченно спадною, тобто

5.11. Розв’язати нерівності: а) ; b) .

5.12. Розв’язати рівняння:

а) ; b) ; c)

5.13. Розв’язати нерівності:

а) ; b) ; c)2 ; d) .

5.4. Показникові та логарифмічні рівняння

Рівняння, що містять невідому в показникові степеня, мають назву “показникові рівняння”.

Основні види показникових рівнянь такі:

1.

За визначенням нульового показника

2.

Якщо розділити обидві частини рівняння на то одержимо рівняння

3.

За означенням логарифма

4.

Винесемо за дужки де Маємо

або

Рівняння має розв`язок, якщо .

5.

Позначимо , тоді одержимо квадратне рівняння відносно , оскільки

6.

Поділивши обидві частини на , отримаємо рівняння, що має вигляд рівняння 5.

Приклад5.17. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Праву частину перетворимо в число з основою 3: . Тепер підставимо в рівняння. Маємо Þ .

Приклад5.18. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Оскільки , то рівняння матиме вигляд . Винесемо за дужки: Þ Þ Таким чином, але Þ Þ .

Приклад5.19. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Позначимо , тоді Підставимо і в задане рівняння. Отримаємо квадратне рівняння Розв’яжемо це рівняння. Маємо: Þ Звідси: , , , і , , ,

Приклад 5.20. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Приклад 5.21. Розв’язати рівняння

Розв’язання.

Приклад 5.22. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Винесемо за дужки Отримаємо:

Приклад 5.23. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Позначимо . Маємо . Корені квадратного

рівняння: і . Оскільки то нас влаштовує тільки корінь . Тоді

Якщо невідома змінна міститься під знаком логарифма або в його основі, то таке рівняння називається логарифмічним. При розв’язуванні логарифмічних рівнянь обов’язково потрібно враховувати властивості логарифмічної функції : , , .

Приклад 5.24. Розв’язати рівняння

Розв’язання. Для цього рівняння ОДЗ таке:

Розв’яжемо нерівність : Парабола не має точок перетину з віссю . Отже, для будь-яких . Тоді Þ , . За означенням логарифма маємо

Þ Þ Þ , .

Приклад 5.25. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Визначимо ОДЗ цього рівняння: Þ .

До лівої частини рівняння застосуємо властивість , тобто ліва частина дорівнює логарифму дробу В правій частині рівняння . Тоді початкове рівняння набуде вигляду За означенням логарифма . Оскільки то .

Приклад 5.26. Розв’язати рівняння .

Розв’язання. Для цього рівняння ОДЗ таке: . До лівої частини рівняння застосуємо властивість . За означенням десяткового логарифма , , , . Врахуємо, що , тоді не є коренем цього рівняння.

Дата добавления: 2014-12-26