Завдання для самостійної роботи. 5.18. Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння:

5.18. Розв’язати найпростіші тригонометричні рівняння:

а) ; b) ; c) ; d)

e) ; f) ; g) ; h) .

Розв’язки рівнянь зобразити на тригонометричному колі.

Розв’язати тригонометричні рівняння:

5.19. а) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

5.20. 5.21. 5.22.

5.23. 5.24. 5.25.

5.26. 5.27. 5.28.

5.29. 5.30. 5.31.

5.32. 5.33.

5.34. 5.35.

5.36. 5.37.

5.38. 5.39. .

5.7 Тригонометричні нерівності

Розв’язання тригонометричних нерівностей зводиться, як правило, до розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей вигляду , і

т. п., а також до розв’язання сукупностей або систем тригонометричних нерівностей. Для розв’язання найпростіших тригонометричних нерівностей зручно користуватися тригонометричним колом. Множина значень змінної величини, яка задовольняє дану найпростішу нерівність, зображується на тригонометричному колі у вигляді однієї або кількох дуг. При цьому зазначимо, що якщо точка кола відповідає числу , то вона відповідає і всім числам вигляду

Приклад 5.40. Розв’язати нерівність

Розв’язання. За означенням – це абсциса точки на тригонометричному колі (рис. 5.11), яка відповідає числу Відкладемо на колі точки, які мають абсциси, що дорівнюють (). Це точки А і B . Геометричним розв’язком наведеної нерівності буде замкнена дуга AmB тому, що

, або

Рис. 5.11

Рис. 5.12

Приклад 5.41. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Функція не визначена в точках і при (рис. 5.12). Проведемо вісь тангенсів перпендикулярно до осі абсцис . Промінь перетинає одиничне коло в точці С :

Функція монотонно зростає при тому нерівність буде виконуватися для всіх точок відкритої дуги СmМ. Оскільки головний період функції дорівнює , то наведена нерівність буде виконуватися для всіх точок дуги ЕрN. Складемо аналітичний запис вказаних дуг:

Приклад 5.42. Розв’язати нерівність .

Розв’язання. Перепишемо нерівність у вигляді

Остання нерівність рівносильна системам нерівностей

(1) і (2)

Геометричний розв’язок систем (1) і (2) подано на рис. 5.13 і 5.14 відповідно. Це будуть дуги AmC і FpM. Об’єднуючи ці дуги, запишемо аналітичний запис розв’язків:

Приклад 5.43. Розв’язати нерівність

Розв’язання. Запропоновану тригонометричну нерівність перетворимо до алгебраїчної нерівності відносно величини :

Рис. 5.13

Рис. 5.14

Розв’язком останньої нерівності є сукупність множин:

або

Геометричний розв’язок тригонометричних нерівностей зображено на рис. 5.15 і 5.16. Це дуги DmC, EpF, SpR і PmQ.

Рис. 5.15

Рис. 5.16

Аналітичним розв’язком наведеної нерівності буде множина

Дата добавления: 2014-12-26