Теорема сложения вероятностей

Частость и вероятность. Классическое определение вероятности

Чтобы подойти к определению вероятности как меры объективной возможности появления случайного события, обратимся к рассмотрению результатов проведения серии одинаковых испытаний.

Условимся при этом называть число М появлений некоторого события при N испытаниях частотой (абсолютной), а отношение - частостью (относительной частотой).

Результаты наблюдений обычно таковы, что если при сериях небольшого количества испытаний частость случайного события подвергается значительным колебаниям, то при переходе к сериям более многочисленных испытаний эти колебания постепенно сглаживаются, все реже и реже нарушая тенденцию к затуханию, и интересующая нас частость, при очень большом числе наблюдений принимает почти устойчивые значения.

Показательны в этом отношении результаты наблюдения за рождаемостью мальчиков. Данные за короткие периоды не показывают никакой закономерности, так как имеют место самые резкие колебания частости, которая принимает даже такие значения, как 0 (ни одного родившегося мальчика) или 1 (все родившиеся—мальчики). Но данные за длительные периоды дают четкую закономерность.

Известны сведения, полученные Чубером за период с 1866 по 1905 гг., о рождаемости мальчиков в Австрии. За все эти 40 лет частость рождения мальчиков оказалась равной 0,515, а по отдельным годам частость 0,515 повторялась 11 раз, частость 0,514 - 17 раз, частость 0,516 - 9 раз, частость 0,513 - 2 раза и частость 0,517 - всего лишь один раз.

Таким образом, найденная за весь период частость 0,515 и по отдельным годам оказывается весьма устойчивой, поскольку отклонения от 0,515 дают колебания в границах 0,1 - 0,2%.

Характерная для частости в многочисленных наблюдениях устойчивость проявляется и в тех случаях, когда исходы испытания симметричны (например, когда подбрасываемая монета по своей форме правильна или у игральной кости все грани одинаково отточены и совпадают по размерам и форме площади), и в тех случаях, когда нарушается симметрия возможных исходов (например, когда у подбрасываемой монеты имеется некоторый изгиб или у игральной кости не все грани абсолютно одинаковы).

В связи с такой устойчивостью значений частости появления события в серии многочисленных одинаковых испытаний за вероятность появления события принимается постоянная величина, около которой группируются наблюдаемые значения частости. Это определение вероятности называют статистическим.

Раскрывая в этом общем виде количественное определение вероятности как меры объективной возможности, следует предупредить учащегося, что с таким именно смыслом исходного значения вероятности придется встречаться в ряде рассматриваемых примеров и задач.

В применении к примерам предыдущего параграфа установленная связь между частостью и вероятностью может быть продемонстрирована на задаче следующего содержания.

Путем выполнения серии извлечений одного шара из урны, содержащей 10 шаров при неизвестном, но одном и том же числе белых шаров, определить вероятность появления белого шара (имеется в виду возврат вынутого шара обратно в урну).

Решение этой задачи возможно путем фиксирования нарастающих данных о числе N всех извлечений шара и среди них о числе М появлений белого шара. При достаточно большом числе испытаний принимаем .

Полученный результат позволяет, не вскрывая урны, определить число находящихся в ней белых шаров

где т — целое число.

Исходя из определения вероятности как устойчивой частости, можно на практике с пользой применять показатели правильно поставленного статистического наблюдения. Приведем пример.

Выбор сорта семян некоторой культуры для посева естественно связывается с вопросом о проценте всхожести семян разных сортов. Для этого следует располагать статистическими данными за ряд лет о всходах посевов по отдельным сортам на различных участках. Осредненные показатели всхожести по всем участкам для каждого сорта семян могут быть учтены при выборе наиболее урожайного сорта семян в данных климатических условиях.

Итак, понятие вероятности в общем случае строится на результатах наблюдений как устойчивое значение частости в большом числе повторных испытаний.

Вместе с тем стоящая перед нами в этом разделе курса задача изучения закономерностей, которым подчиняются однородные массовые явления, может быть разрешена при условии построения правил операций с вероятностями для целых систем случайных событий. В связи с этим понятие вероятности должно быть определено на основании непосредственных подсчетов по условиям испытания.

Этим требованиям удовлетворяет классическое определение вероятности, которое строится на данных, характеризующих условия проводимого испытания.

Классическое определение вероятности является новым определением и не зависит от вышеприведенного статистического определения. Классическое определение применимо не во всех случаях, но более удобно для доказательства теорем о свойствах вероятностей.

Выполнение всякого испытания влечет за собой некоторую совокупность исходов. Назовем ее системой исходов испытания (или событий).

В каждом из трех примеров предыдущего параграфа такую систему представляют 10 шаров, каждый из которых может быть извлечен из урны.

Проводимое испытание имеет своим исходом появление одного события только из данной системы. Поэтому все исходы испытания являются единственно возможными.

В применении к примерам с урнами это значит, что исходом опыта может быть только извлечение одного шара.

Условия проведения испытания должны быть такими, чтобы не было оснований приписывать какому-либо одному исходу преимущества по сравнению с другими. Поэтому все исходы испытания являются еще и равновозможными.

В примерах с урнами этот термин связан с приведенным нами замечанием о том, что шары совпадают по всем признакам, кроме возможного различия в цвете.

Результат испытания заключается в появлении одного из всех событий системы, т. е. возможные исходы испытания являются несовместимыми. При этом из числа всех (единственно возможных и равновозможных) исходов выделяют те, которые приводят к интересующему нас событию. Это—исходы, благоприятствующие данному событию.

Так, в примере 1 событию А благоприятствуют 5 исходов из числа 10 возможных; в примере 2 событию В благоприятствуют 8 исходов из числа 10 возможных.

Эти данные позволяют оценить вероятности появления каждого из трех рассмотренных событий:

1. Вероятность появления события А равна

2. Вероятность появления события В равна

3. Вероятность появления события С равна

Краткие записи этих результатов таковы:

или

Теперь можно сформулировать общее правило вычисления вероятности.

Пусть из системы п исходов испытания , несовместимых, единственно возможных и равновозможных, т исходов благоприятствуют интересующему нас событию А.

Под вероятностью Р (А) наступления события будем понимать отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу всех исходов (несовместимых, единственно возможных и равновозможных) испытания.

Соответствующая запись:

или

Это и есть классическое определение вероятности. Для случайного события т < п, для достоверного события т = n; для невозможного события т = 0. Отсюда границы значений вероятности какого угодно события таковы:

Приведем следующий пример на вычисление вероятности. Из числа талонов, занумерованных всеми двузначными числами и свернутых в одинаковые трубочки, наудачу берется один.

Какова вероятность того, что номер взятого талона состоит из одинаковых знаков?

Здесь число всех талонов составляет n = 90; число талонов с одинаковыми знаками (11, 22,..., 99) т =9. Поэтому

или

Практика показывает, что при соответствии проводимых испытаний условиям, на которых строится классическое определение вероятности, по мере возрастания числа испытаний частость появления случайного события оказывается сколь угодно близкой к его вероятности.

Вычисление вероятности по формуле вызывает в некоторых случаях затруднения при определении значений т и п. Эти затруднения вызываются, в частности, тем, что при решении ряда задач требуется применение формул из теории соединений.

Поэтому полезными для развития необходимых навыков являются помещаемые ниже краткие сведения из теории соединений.

Среди возможных соединений в отдельные группы элементов из их общего числа п выделим следующие: 1) размещения по т различных элементов (т < п), 2) перестановки из всех имеющихся п элементов, 3) сочетания по т элементов.

Размещением из п различных элементов по т элементов называется соединение, которое отличается либо составом, либо порядком своих элементов.

Так, размещениями являются трехзначные числа, составленные из первых девяти цифр.

Число различных размещений из п элементов по т элементов определяется формулой

Поэтому количество всех трехзначных чисел, состоящих из цифр 1,..., 9, составляет

Перестановками из п элементов называются всевозможные соединения из этих п элементов.

Так, перестановками являются различные расположения четырех человек, сидящих на четырехместной скамье. Количество всех перестановок из п элементов обозначается символом и определяется числом размещений из всех п элементов по формуле

Так,

Например, 4 человека на четырехместной скамье могут расположиться 24 способами, так как

Сочетаниями из п элементов по т элементов называются соединения, которые различаются только составом своих элементов.

Так, сочетаниями являются трехзначные числа, составленные из 5 различных цифр, если каждое число записано только в порядке убывания цифр.

Количество сочетаний из п элементов по т обозначается символом и определяется по формуле

В упрощенной записи эта формула такова:

Например, число различных трехзначных чисел, записанных из разных 5 цифр в порядке убывания от цифры сотен к цифре единиц, определится по формуле

Для сокращения вычислений в случаях, когда , применяется свойство сочетаний

Поэтому, например, .

Переходя далее к непосредственному вычислению вероятностей, заметим следующее: если из двух, трех и т. д. урн с одинаковым числом k различающихся только по цвету шаров, одновременно извлекается по одному шару, то число возможных пар, троек и т. д. извлеченных шаров, т. е. п, принимает значения k ², k ³ и т.д. При этом число совпадающих по цвету пар, троек и т. д. шаров, т. е. т ₁ принимает значение k, а число различных по цвету пар, троек и т.д. шаров, т. е. т ₂ — значения , и т.д. [здесь по формуле числа размещений и т. д].

Пример 1. Одновременно подбрасываются 2 игральные кости1). Найти вероятность того, что а) на верхних гранях каждой из двух костей число кружков одно и то же, б) на верхней грани каждой кости число кружков различно.

Решение. Так как число всех граней на каждой кости k =6,то на двух костях количество всех возможных двойных групп кружков . а) Количество одинаковых двойных групп кружков на верхних гранях двух костей (по 1, по 2,.,.) б) Количество различных двойных групп кружков на верхних гранях двух костей (1 и 2), (2 и 1), (1 и 3), (3 и 1),...,(5 и 6), (6 и 5) определяется числом размещений из 6 по 2, т. е.

Отсюда: а) и б)

Самостоятельно следует решить этот же пример для случая, когда одновременно подбрасываются 3 игральные кости. (Ответ: )

Пример 2. Из 9 жетонов, занумерованных разными однозначными цифрами, выбираются 3. Найти вероятность того, что последовательная запись их номеров показывает возрастание.

Решение. Число всех возможных нумераций трех жетонов определяется по формуле размещений, т.е. Число же тех нумераций, которые дают только возрастание, определяется по формуле числа сочетаний, т.е. Отсюда

Учащемуся следует для этой же случайной выборки трех жетонов найти вероятность того, что номера всех трех жетонов четные. (Ответ: )

Пример 3. Среди 25 деталей, подвергаемых проверке, имеется всего 15 точных. Какова вероятность того, что из числа взятых наудачу 10 деталей окажется 8 точных?

Решение. Количество всех равновозможных выборок по 10 деталей из 25 определяется по формуле числа сочетаний, т. е. . Число же тех выборок по 10, в которых 8 точных деталей сочетаются с 2 неточными, определяется произведением т. е. .

Отсюда искомая вероятность

Часто возникает необходимость ответить на вопрос о том, чему равна вероятность появления одного из нескольких несовместимых событий, если вероятность каждого отдельного события известна. Ответ на такой вопрос дает теорема сложения вероятностей.

Теорема. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания, какого именно, равна сумме вероятностей этих событий.

Пусть дана система1) из п событий , причем k исходов испытания благоприятствуют наступлению события А, а другие (так как события несовместимы) l исходов благоприятствуют наступлению события В .

Определим при этих условиях вероятность наступления какого-нибудь одного из двух событий: или А, или В.

Появлению события А благоприятствуют k исходов;

Появлению события В благоприятствуют l исходов;

Появлению одного из двух событий — или А, или В — благоприятствуют k+l исходов; значит, Р (или А, или В)

Так как , то это значит, что

Наши рассуждения, проведенные для двух несовместных событий, не изменятся и для любого другого числа несовместных событий.

Пример 4. Поездка пассажира с некоторой трамвайной остановки к месту работы обслуживается трамваями маршрутов № 3 и 11. Через данную остановку проходят трамваи пяти маршрутов. Известно, что из 40 трамваев, курсирующих через данную остановку, имеется 8 трамваев маршрута № 3 и 10 трамваев маршрута № 11. Найти вероятность того, что первый проходящий трамвай будет соответствовать требуемому маршруту. При этом имеется в виду, что из трамвайного парка еще не проходил ни один трамвай.

Решение. Вероятность появления трамвая № 3 а вероятность появления трамвая № 11 Поэтому

Применение теоремы сложения требует проверки несовместимости рассматриваемых событий.

Пример 5. В состав исполнительного органа добровольного общества избрано 20 человек. Из них 15 человек по своему возрасту старше 30 лет, а 9 человек старше 40 лет. Какова вероятность того, что избранный путем жеребьевки председатель окажется по своему возрасту либо старше 30 лет, либо старше 40 лет?

Решение. Вероятность того, что председатель по своему возрасту старше 30 лет — , а вероятность того, что он старше 40 лет —

Если бы мы пользовались теоремой сложения, то получили бы

Но такой результат лишен смысла, так как вероятность никакого события не может превышать 1, а это значит, что теорема сложения применена здесь неправильно. В самом деле, сложением охвачены вероятности совместимых событий, так как человек в возрасте свыше 40 лет является тем самым старше 30 лет. Поэтому искомая вероятность определяется значением без применения теоремы сложения.

Теорема сложения позволяет установить соотношение между вероятностями двух противоположных событий.

Обозначая вероятность события А через Р (А) = р ивероятностьпротивоположного А события через , заметим, что наступление одного из двух противоположных событий в любом испытании достоверно. Поэтому . Вместе с тем по теореме сложения имеем

Следовательно, .

Отсюда, зная, что , всегда имеем Применим теорему сложения к понятию полной системы событий. Система несовместимых событий называется полной, если события, входящие в данную систему, являются единственно возможными. Это значит, что любой исход испытания имеет своим результатом наступление события только из числа входящих в систему. Поэтому наступление какого-либо из этих событий достоверно, т. е.

С другой стороны, несовместимость событий позволяет применить теорему сложения:

Отсюда

т. е. сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна единице.

Дата добавления: 2014-12-26