Нормальный закон распределения и понятие о теореме Ляпунова

О непрерывной случайной величине говорят, что она подчинена нормальному закону распределения или называется нормально распределенной, если плотность ее вероятности определяется формулой

.

Здесь а и s — параметры распределения. Можно показать, что — среднее значение, а s — среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

В частном случае при а =0 эта плотность выражается функцией

.

График этой функции представляет кривую вероятностей и характеризуется следующими особенностями:

1) кривая пересекается с осью Оу в точке являющейся точкой максимума заданной функции, так как в точке х= 0 обращается в нуль ее первая производная

;

2) с осью Ох кривая не пересекается, но с возрастанием асимптотически приближается к ней;

3) кривая симметрична относительно оси Оу, так как - четная функция;

4) по второй производной

определяются две точки перегиба кривой с координатами:

и .

Здесь важно отметить, что именно параметр s определяет абсциссы точек перегиба кривой вероятностей.

Построенная по этим результатам исследования кривая дается на рис. 11.

С изменением значения s меняются ординаты вершины и точек перегиба кривой, а это соответственно влияет на ее конфигурацию. Наглядное отражение этих изменений дает рис. 12, на котором наряду с кривой при помещены еще двекривые — при и при . Кривая с параметром принята здесь за основную, а другие получены преобразованием основной методом сжатий и растяжений. Большему значению s соответствует большая вытянутость кривой вдоль оси Ох и большее сжатие вдоль оси Оу, и наоборот. Это вполне согласуется с тем, что при большем значении имеет место большее рассеяние значений случайной величины относительно центра рассеяния М (Х).

Рис 11 Рис. 12

При кривые нормального распределения, заданные плотностью

,

характеризуются горизонтальным сдвигом на а ед. масштаба по сравнению с только что рассмотренными кривыми при тех же значениях параметра s. Сама же форма кривых при этом смещении остается без изменения.

Наиболее общий случай нормального распределения имеет место при систематических отклонениях в стрельбе, в измерениях и в других наблюдениях.

Закон нормального распределения имеет в теории вероятностей исключительно важное значение. В сферу его применения включаются не только отдельные случайные величины, но и суммы любого числа независимых случайных величин, распределенных по нормальному закону (соответствующая теорема сложения для нормального распределения доказывается в подробных курсах теории вероятностей). Обработка результатов наблюдения в предположении, что они распределены по нормальному закону, легко доводится до конца с помощью простых правил операций с нормально распределенными величинами.

Более того, оказывается, что закон распределения суммы независимых величин при довольно широких предположениях о законах распределения отдельных слагаемых стремится к нормальному закону, если число слагаемых неограниченно возрастает.

Первое доказательство этого утверждения для независимых повторных испытаний в биномиальном распределении составляет содержание так называемой предельной теоремы Муавра.

В дальнейшем было выяснено, но долгое время оставалось недоказанным, что этот результат имеет место и при гораздо более общих условиях.

Разрешение этого вопроса дает центральная предельная теорема, которая составила предмет научных изысканий ряда крупных математиков, начиная с Лапласа, и строгое доказательство которой было дано А. М. Ляпуновым в 1901 г.

Сущность этой теоремы заключается в том, что при некоторых общих условиях сумма п независимых случайных величин, заданных произвольными распределениями, имеет распределение, которое по мере возрастания числа п стремится к нормальному.

Некоторая конкретизация упомянутых здесь общих условий позволяет так сформулировать теорему Ляпунова.

Если имеется п независимых случайных величин

с математическими ожиданиями

и с дисперсиями

причем отклонения всех случайных величин от их математических ожиданий не превышают по абсолютной величине одного и того же числа :

,

а все дисперсии ограничены одним и тем же числом С:

,

то при достаточно большом п сумма случайных величин , т. е. будет подчинена закону распределения, cколь угодно близкому к закону нормального распределения.

Упражнения

1, По таблице распределения случайной величины

	0,1	0,3	0,3	0,2	0,1

определить ее среднее значение, среднее отклонение и среднее квадратическое отклонение.

Отв.

2. Вероятность попадания из орудия в данную цель при одном выстреле . Составить таблицу распределения числа попаданий при 7 выстрелах; определить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Отв.

3. Две независимые случайные величины Х и Y заданы слсдующими табцами распределения:

	2.5		8.3			5.2	7.6
	0.3	0.5	0.2			0.6	0.4

Составить таблицы распределения случайных величин X+Y и XY и проверить справедливость свойств о математическом ожидании суммы и произведения случайных величин.

Дата добавления: 2014-12-26