Теорема Чебышева

Закон больших чисел занимал большое место в работах П. Л. Чебышева. Первое доказательство этого закона было дано им в его магистерской диссертации «Опыт элементарного анализа теории вероятностей» (1845 г.). Однако это доказательство касалось частных случаев. Но уже в 1846 г. П. Л. Чебышев нашел более общее элементарное доказательство (на основе рассмотрения экстремальной задачи).

Окончательное разрешение этого вопроса с доказательством закона больших чисел в общем виде было достигнуто П. Л. Чебышевым в 1866 г. в мемуаре «О средних величинах», где на основе точного установления свойств математических ожиданий П. Л. Чебышев приходит к строгому доказательству закона больших чисел

Теорема Чебышева. Если дисперсии попарно независимых случайных величин не превосходят данного положительного числа С, то вероятность того, что абсолютное отклонение средней арифметической таких величин от средней арифметической их математических ожиданий меньше какого-нибудь данного числа, с возрастанием количества случайных величин становится сколь угодно близкой к единице.

Для доказательства теоремы преобразуем левую часть неравенства Чебышева, приняв , где п — количество независимых величин X, Y, Z,..., а e — произвольное положительное число. Это позволит заменить условие

равносильным ему

,

а поэтому неравенство Чебышева примет вид

.

Так как по условию теоремы , то

D (X) +D (Y) +...+D (V) £ nC.

Соответствующая замена правой части усиливает неравенство и дает

.

Этим доказана теорема Чебышева, так как с возрастанием числа n разность становится сколь угодно близкой к единице, т.е. .

Следствие. Полученный в доказанной теореме результат не нарушится, если вместо случайных величин X, Y,..., U, V перейти к случайным величинам , имеющим равные математические ожидания а и одинаково ограниченные дисперсии. Такие случайные величины могут, например, выражать независимые результаты по сериям измерений одной и той же величины.

Соответствующая запись

непосредственно следует из теоремы Чебышева.

Возвращаясь в правой части этого неравенства от C к D (X), будем иметь

.

Пользуясь этим следствием из теореглы Чебышева, можно доказать теорему Бернулли.

Пусть случайная величина Х представляет число появлений события А в каждом из независимых испытаний, т. е. принимает значения 1 или 0. Тогда сумма выразится числом т появлений события А при п испытаниях, средняя арифметическая такой случайной величины — частостью , ее математическое ожидание — вероятностью р появления события A в отдельном испытании и дисперсия — произведением pq (см. выше, п. 3.3., пример 8). Поэтому математическая запись следствия из теоремы Чебышева в применении к случайной величине числа появлений события А в п независимых повторных испытаниях принимает следующий вид:

при достаточно большом числе п.

Переходя к пределу при , получаем

Этим доказана как частный случай теоремы Чебышева теорема Бернулли: с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при неограниченном возрастании чисш п независимых испытаний частость появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности в отдельном испытании.

Переход к использованию частичного1) содержания закона больших чисел для решения соответствующих задач требует некоторого предварительного общего разъяснения.

Практика требует, чтобы по интересующим нас событиям мы располагали надежными данными о достоверности или невозможности их наступления. Опыт показывает, что при вероятности, близкой к единице, данное событие почти обязательно наступает, а при очень малой вероятности оно практически не имеет места, и всякие расчеты, построенные на возможном его появлении, лишены реального смысла. Но эти соображения не могут найти своего практического приложения, пока они не обоснованы необходимыми цифровыми расчетами. Только тогда высказанный здесь принцип практической уверенности будет полезен в применении к решению практических задач, когда он подкреплен данными надежной оценки. На этом фоне выявляется особая практическая важность закона больших чисел, раскрывающего те условия, при которых вероятность появления события становятся сколь угодно близкой к единице (или к нулю).

Доказанные теоремы и связанные с ними неравенства дают ответы на ряд интересных в этом смысле вопросов: начиная с какого числа испытаний заданная вероятность отклонения будет находиться в требуемых границах; какова граница возможного отклонения при заданных значениях п и Р; при каком соотношении между объемами выборки и всей совокупности будет обеспечена заданная вероятность допустимого отклонения выборочной средней от общей средней и т. д.

Эти соображения должны дать учащемуся направление в практически полезном применении предлагаемых здесь примеров и упражнений.

Пример 4. При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0.96, если вероятность появления события в отдельном испытании ?

Решение. Условие Р > 0,96 равносильно неравенству

.

Отсюда .

Подстановка значений , и дает

.

Таким образом, требуемое задачей неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная со 132.

Пример 5. При штамповке пластинок из пластмассы по данным ОТК брак составляет 3%. Найти вероятность того, что при просмотре партии в 1000 пластинок выявится отклонение от установленного процента брака меньше чем на 1%.

Решение. Здесь следует определить при , и .

По теореме Бернули искомая вероятность ,

где .

Таким образом, искомая вероятность Р ³ 0,709.

Пример 6. Партия деталей для оборудования завода распределена по ящикам, имеющим одинаковый вес (нетто). Из каждого ящика на выборку берется по одной детали и определяется ее вес. Известно, что дисперсия по каждому из ящиков не превышает 4. Установить (применяя теорему Чебышева), при каком числе ящиков отклонение среднего выборочного веса детали от общего среднего веса ее менее чем на 0,2 кг определится вероятностью, Превышающей 0,95.

Решение. По условию имеем: , причем здесь С = 4, e = 0,2.

Поэтому число ящиков определится из уравнения

,

которое дает 100: n =0,05. Таким образом, п= 2000.

Упражнения

Применяя теорему Бернулли, решить задачи 1, 2.

1. Вероятность положительного исхода отдельного испытания p= 0,8. Оценить вероятность того, что при 1000 независимых повторных испытаний отклонение частости положительных исходов от вероятности при отдельном испытании по своей абсолютной величине будет меньше 0,05.

Отв.

2. Вероятность наличия зазубрин на металлических брусках, заготовленных для обточки, равна 0,2. Оценить вероятность того, что в партии из 1000 брусков отклонение числа пригодных брусков от 800 не превышает 5%.

Отв.

Применяя тeopeму Чебышева, решить задачи 3, 4.

3. Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не превышает 3. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит (по своей абсолютной величине) числа 0,4.

Отв. Р > 0,9875.

4. Известно, что дисперсия каждой из данных независимых случайных величин не превышает 4. Найти то число этих величин, при котором вероятность отклонения их средней арифметической от средней арифметической их математических ожиданий не более чем на 0.25 превысит 0.99.

Отв. N > 6400.

Дата добавления: 2014-12-26