Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости

Следствия основного уравнения гидростатики

Во-первых, из основного уравнения гидростатики следует, что для любой точки жидкости в состав величины давления входит P₀ - давление, которое приложено к граничной поверхности жидкости извне. Эта составляющая одинакова для любой точки жидкости. Поэтому из основного уравнения гидростатики следует закон Паскаля, который гласит: давление, приложенное к граничной поверхности покоящейся жидкости, передаётся всем точкам этой жидкости по всем направлениям одинаково. Следует подчеркнуть, что давление во всех точках не одинаково. Одинакова лишь та часть (составляющая), которая приложена к граничной поверхности жидкости. Закон Паскаля – основной закон, на основе которого работает объёмный гидропривод, применяемый в абсолютном большинстве гидросистем технологических машин.

Вторым следствием является тот факт, что на равной глубине в покоящейся жидкости давление одинаково. В результате можно говорить о поверхностях равного давления. Для жидкости, находящейся в абсолютном покое или равномерно движущейся, эти поверхности – горизонтальные плоскости. В других случаях относительного покоя, которые будут рассмотрены ниже, поверхности равного давления могут иметь другую форму или не быть горизонтальными. Существование поверхностей равного давления позволяет измерять давление в любой точке жидкости.

Дифференциальные уравнения равновесия покоящейся жидкости иначе называют дифференциальными уравнениями Эйлера. Они получены для общего случая относительного покоя жидкости. Возможны следующие варианты относительного покоя.

Рисунок 10 – Схема для нахождения дифференциального уравнения Эйлера

Рассмотрим в произвольной системе координат X,Y,Z произвольную точку A.

Вблизи этой точки выделим элементарный объём в форме прямоугольного параллелепипеда, грани которого для простоты математических выражений параллельны координатным плоскостям.

Заметим следующее:

- давление является функцией координат (при этом в любой точке оно по всем направлениям одинаково),

- при переходе к точкам Ax(Ay, Az ) меняется только одна координата на бесконечно малую величину dx(dy, dz), поэтому функция получает приращение только по одной координате,

- это приращение равно частному дифференциалу по соответствующей координате

Таким образом, разность давлений, действующих на противоположные грани параллелепипеда (внутрь рассматриваемого объёма), перпендикулярные соответствующим осям, будет иметь вид:

(35)

Исходя из этого, определим разности сил, вызванных давлением, в проекции на оси координат

(36)

Кроме сил давления на параллелепипед будут действовать инерционные силы в общем случае определяемые массой и ускорениями X, Y, Z на соответствующие оси

(37)

Учитывая, что параллелепипед находится в покое, сумма сил, действующих на него, равна 0:

(38)

Разделив систему уравнений сил на массу рассматриваемого параллелепипеда, получим систему уравнений Эйлера:

(39)

На практике, чтобы избавиться от частных производных, используют одно уравнение, заменяющее систему. Для этого первое уравнение умножают на dx, второе на dy, третье на dz и складывают их:

(40)

В этой формуле сумма в скобках является полным дифференциалом давления, который в результате оказывается равным

(41)

Полученное уравнение показывает, как изменяется давление при изменении координат внутри покоящейся жидкости для общего случая относительного покоя. Это уравнение впервые получил Леонард Эйлер в 1755

Дата добавления: 2014-12-26