Входные параметры Выходные параметры

Информационное моделирование

и электронные таблицы

Изучаемые вопросы:

ª Что такое математическая модель.

ª Понятия: компьютерная математическая модель, численный эксперимент.

ª Пример реализации математической модели на электронной таблице.

Электронные таблицы являются удобной инструментальной средой для решения задач математического моделирования.

Что же такое математическая модель? Это описание состояния или поведения некоторой реальной системы (объекта, процесса) на языке математики, т.е. с помощью формул, уравнений и других математических соотношений. Характерная конфигурация всякой математической модели представлена на рис. 10.2.

Рис. 10.2. Обобщенная структура математической модели

Здесь Х и Y — некоторые количественные характеристики моделируемой системы.

Реализация математической модели — это применение определенного метода расчетов значений выходных параметров по значениям входных параметров. Технология электронных таблиц — один из возможных методов реализации математической модели. Другими методами реализации математической модели может быть составление программ на языках программирования, применение математических пакетов (MathCad, Математика и др.), применение специализированных программных систем для моделирования. Реализованные такими средствами математические модели будем называть компьютерными математическими моделями.

Цель создания компьютерной математической модели — проведение численного эксперимента, позволяющего исследовать моделируемую систему, спрогнозировать ее поведение, подобрать оптимальные параметры и пр.

Итак, характерные признаки компьютерной математической модели следующие:

• наличие реального объекта моделирования;

• наличие количественных характеристик объекта: входных и выходных параметров;

• наличие математической связи между входными и выходными параметрами;

• реализация модели с помощью определенных компьютерных средств.

В учебнике [31] приведен пример реализации на электронной таблице математической модели эволюционного типа: исследуется изменение со временем числа рыб в пруду, исходя из закона Мальтуса. Использование электронных таблиц в математическом моделировании отражено в разделе «Компьютерное математическое моделирование» задачника-практикума [6].

В качестве примера использования электронных таблиц для математического моделирования рассмотрим задачу о выборе места строительства железнодорожной станции из учебников А.Г.Гейна [4, 22].

Условие задачи. Пять населенных пунктов расположены вблизи прямолинейного участка железной дороги. Требуется выбрать место строительства железнодорожной станции, исходя из следующего критерия: расстояние от станции до самого удаленного пункта должно быть минимально возможным.

Для решения задачи выбирается система координат, в которой ось ^направлена по железнодорожной линии. В этой системе задаются координаты населенных пунктов. Допустим, что расстояние между самыми удаленными в направлении оси X пунктами равно 10 км. Начало координат выберем так, чтобы Х-координата самого левого пункта была равна 0. Тогда ^-координата самого правого пункта будет равна 10. Пусть координаты всех населенных пунктов в этой системе будут следующими:

1 - (0, 6); 2 - (2, 4); 3 - (5, -3); 4 - (7, 3); 5 - (10, 2).

В данном списке указан порядковый номер пункта и его координаты.

Ниже приводится проект электронной таблицы (табл. 10.3), решающей эту задачу.

Таблица 10.3

	А	В	С	D	E	F	G	H	I
				Шаг =		KM
		Координаты		Положение	станции
	№	X	У		D3+SES1	E3+$E$1	F3+$E$1	G3+$E$1	H3+$E$1
				R(l,l)	R(l,2)	R(l,3)	R(l,4)	R(l,5)	R(l,6)
				R(2,l)	R(2,2)	R(2,3)	R(2,4)	R(2,5)	R(2,6)
			-3	R(3, 1)	R(3,2)	R(3,3)	R(3,4)	R(3,5)	R(3,6)
				R(4, 1)	R(4,2)	R(4,3)	R(4,4)	R(4,5)	R(4,6)
				R(5, 1)	R(5,2)	R(5,3)	R(5,4)	R(5,5)	R(5,6)
			Макс.:	Max (D4:D8)	Max (E4:E8)	Max (F4:F8)	Max (G4:G8)	Max (H4:H8)	Max (14:18)
		Миним.	расст.:	Min (D9:I9)

Для решения задачи применяется метод дискретизации: на участке железной дороги, ограниченном ^координатами от 0 до 10, рассматривается конечное число возможных положений станции, отстоящих друг от друга на равных расстояниях (шаг дискретизации). Для каждого положения станции вычисляются расстояния до каждого населенного пункта и среди них выбирается наибольшее расстояние. Искомым результатом является положение станции, соответствующее минимальному из этих выбранных величин.

Очевидно, что точность найденного решения зависит от шага перемещения станции (шага дискретизации). В приведенной таблице для уменьшения ее размера выбран довольно грубый шаг, равный 2 км. Тогда на всем участке помещается 5 таких шагов и, следовательно, анализируется 6 возможных положений станции (включая положение, соответствующее X = 0).

В табл. 10.3 формулы вычисления расстояний условно обозначены R(i, j). Здесь первый индекс обозначает номер населенного пункта (от 1 до 5), а второй — номер положения станции (от 1 до 6). Вот примеры некоторых формул на языке электронной таблицы MS Excel:

R(l, 1) = KOPEHb(($B4-D$3)^Ù2+$C4^Ù2)

R(l, 2) = КОРЕНЬ(($В5-В$3)^Ù2+$С5^Ù2) и т.д.

Таблица 10.4

	А	В	С	D	Е	F	G	Н	I
				Шаг =		км
		Координаты		Положение	станции
	№	X	Y
				6,00000	6,32456	7,21110	8,48528	10,00000	11,66190
				4,47214	4,00000	4,47214	5,65685	7,21110	8,94427
			-3	5,83095	4,24264	3,16228	3,16228	4,24264	5,83095
				7,61577	5,83095	4,24264	3,16228	3,16228	4,24264
				10,19800	8,24621	6,32456	4,47214	2,82843	2,00000
			Макс.:	10,19800	8,24621	7,21110	8,48528	10,00000	11,66190
		Миним.	расст.:	7,21110

В табл. 10.4 приведены числовые результаты расчетов решения данной задачи. Окончательный ответ следующий: железнодорожную станцию следует размещать в 4 км от начала координат. При этом самым удаленным от нее окажется населенный пункт номер 1 — на расстоянии 7,21 км. Следует иметь в виду, что полученный результат довольно грубый, поскольку его погрешность по порядку величины равна шагу (2 км).

Такой способ решения задачи оказывается, в некотором смысле, полуавтоматическим. Ученик приходит к окончательному ответу, анализируя полученную числовую таблицу. Визуально он определяет, какому положению станции соответствует (в каком столбце таблицы находится) найденное оптимальное расстояние 7,21 км. Если требуется уменьшить шаг дискретизации, то, изменив величину шага в ячейке Е1, нужно будет увеличивать число столбцов в расчетной таблице. Делается это легко, простым копированием столбцов. Максимальный размер электронной таблицы, хотя и ограничен, но все-таки достаточно большой (в Excel — 256 столбцов). Правда, в этом случае придется подправить формулу в ячейке D10.

Все эти дополнительные проблемы компенсируются прозрачностью модели. Ученик видит все промежуточные результаты расчетов, видит весь механизм работы выбранной модели. Понятие вычислительного эксперимента становится для учеников более содержательным, более наглядным.

Электронная таблица — средство более высокого уровня, чем язык программирования. В то же время задача проектирования расчетной таблицы того же типа, что нами рассмотрена, совсем не тривиальна. Можно говорить о том, что язык электронных таблиц — это своеобразный язык программирования — язык табличных алгоритмов. Следовательно, этап алгоритмизации в табличном способе математического моделирования тоже присутствует. Большим достоинством электронных таблиц является возможность легко осуществлять графическую обработку данных, что бывает очень важным в математическом моделировании.

Дата добавления: 2014-12-27