Построение всех тупиковых ДНФ

Пусть f (x ₁, …, x_n) есть функция алгебры логики.

1. Построим СДНФ функции f, и пусть P ₁, P ₂, …, P_n есть ее коституенты единицы).

2. Построим сокращенную ДНФ функции, f и пусть K ₁, K ₂, …, K_m – ее простые импликанты.

3. Построим матрицу покрытий простых импликант функции f ее конституентами единицы (табл. 3.4), полагая, что

+, если каждый множитель в K_i является множителем в P_j; (P_j есть a_ij = часть для K_i);

Æ в противном случае.

Таблица 3.4

N	P 1 P 2 … Pj … Pn
K 1 K 2 Ki Km	a 11 a 12 … a 1 j …a 1 n a 21 a 22 … a 2 j … a 2 n ai 1 ai 2 … aij … ain am 1 am 2 … amj … amn

4. Для каждого столбца j (1 £ j £ n) найдем множество E_j всех тех номеров I строк, для которых a_ij = 1. Пусть Составим выражение Назовем его решеточным выражением. Это выражение можно рассматривать как формулу, построенную в свободной дистрибутивной решетке с образующими 1, 2, …, m и с операциями & и Ú.

5. В выражении A раскроем скобки, приведя выражение A к равносильному выражению где перечислены все конъюнкции элементы которой взяты из скобок 1,2,…, n соответственно в выражении A.

6. В выражении B проведем все операции удаления дублирующих членов и все операции поглощения. В результате получим дизъюнкцию элементарных конъюнкций C.

Утверждение. Каждая элементарная конъюнкция i ₁& i ₂&…& i_r в С дает ТДНФ для f. Все ТДНФ для функции f исчерпываются элементарными конъюнкциями в выражении С.

Пример 5. Сокращенная ДНФ для функции f = (1111010010101111) имеет вид

Для функции f построим все минимальные ДНФ.

1. Строим матрицу покрытий (таблица 3.5).

Таблица 3.5

		Конституенты единицы функции f
N	ПИ	x ` x ` x ` x ` x x x x x x x y ` y ` y ` y y ` y ` y y y y y z ` z z z ` z ` z z ` z ` z z z t t ` t t t ` t ` t ` t t t t
	x y ` x ` y ` y ` t x ` t ` x ` z t y ` z t	+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

2. Строим решеточное выражение (по столбцам таблицы).

E = (2Ú3)(2Ú5)(2Ú3)2(5Ú6)(3Ú4)(3Ú4)(1Ú4)(1Ú6)(1Ú4)(1) = (2Ú3)(2Ú5)(5Ú6)(3Ú4)(1Ú4)(1Ú6)12 = (5Ú6)(3Ú4)(1)(2) = 1235Ú1245Ú1236Ú1246.

3. Строим все тупиковые ДНФ функции f:

простые импликанты 1,2,3,5;

простые импликанты 1,2,4,5;

простые импликанты 1,2,3,6;

простые импликанты 1,2,4,6.

4. Все найденные ТДНФ являются минимальными ДНФ.

Алгоритм минимизации функций в классе ДНФ

1. Строим СДНФ функции f.

2. Строим сокращенную ДНФ функции f.

3. С помощью матрицы покрытий и решеточного выражения строим все ТДНФ функции f.

4. Среди построенных ТДНФ выбираем все минимальные дизъюнктивные нормальные формы функции f.

Алгоритм минимизации функций в классе КНФ

Чтобы построить все минимальные КНФ (МКНФ) функции f, следует построить все МДНФ функции ` f и взять от каждой из них отрицание, для чего заменить знаки & на Ú, а Ú на & (сохранив первоначальное распределение скобок) и над каждой буквой поставить знак отрицания. Полученные КНФ для функции f будут минимальными. В самом деле, если бы для f существовала КНФ с меньшим числом букв, то ее отрицание дало бы для ` f ДНФ с меньшим числом букв, чем в любой из минимальных ДНФ для ` f. Противоречие с их минимальностью.

Алгоритм минимизации функций в классе нормальных форм

Пусть f – функция алгебры логики.

1. Строим все МДНФ функции f.

2. Строим все МКНФ функции f.

3. Из построенных минимальных форм выбираем простейшие (по числу букв).

Пример 6. В классе нормальных форм минимизировать функцию f =(01011110).

1. Строим СДНФ для функции f:

2. Строим сокращенную ДНФ функции f:

3. Строим матрицу покрытий (таблица 3.6).

Таблица 3.6

N	ПИ	` x ` y z ` x y z x ` y ` z x ` y z x y ` z
	` x z ` y z x ` y x ` z	+ + + + + + + +

Решеточное выражение E = (1 Ú 2) 1 (3 Ú 4) 4 = 134 Ú 124.

4. Строим все тупиковые ДНФ функции f:

5. Обе построенные ТДНФ являются минимальными.

6. Повторяем эти этапы для функции ` f.

СДНФ:

Сокращенная ДНФ:

Строим матрицу покрытий (таблица 3.7).

Таблица 3.7

N	ПИ	x`y`z `x y`z x y z
	`x`z x y z	+ + +

Решеточный многочлен E = 112 = 12. Единственная тупиковая ДНФ (она же минимальная) для функции Минимальная КНФ функции Из построенных МДНФ и МКНФ выбираем простейшую

Пример 7. В классе нормальных форм минимизировать функцию f =(11011011).

1. СДНФ:

2. Сокращенная ДНФ: =

3. Строим матрицу покрытий (таблица 3.8).

Таблица 3.8

N	ПИ	` x ` y ` z ` x ` y z ` x y z x ` y ` z x y ` z x y z
	x y x`z y ` z ` x z y z ` x ` y	+ + + + + + + + + + + +

E = (3 Ú 6) (4 Ú 6) (4 Ú 5) (2 Ú 3) (1 Ú 2) (1 Ú 5) = 1246 Ú 1356 Ú 134 Ú 256 Ú 2345.

4. Тупиковые ДНФ функции f:

5. Минимальные ДНФ функции f:

6. Повторяем указанные выше этапы для функции ` f.

СДНФ:

Сокращенная ДНФ:

Построенная сокращенная ДНФ функции ` f является для нее тупиковой и минимальной.

Минимальная КНФ функции

Построенные МДНФ и МКНФ имеют одно и то же число букв; все они составляют минимальные формы для f:

Дата добавления: 2014-12-27