Примеры термов

Введение в формальную логику

Учебное пособие

Для упражнений, помеченных знаком +, в конце даны ответы

Глава 4

Классическая логика предикатов

Логика предикатов – логическая теория, в которой вводятся параметры трех типов для выражений естественного языка: для предикатных выражений, функторных и для логических имен. В классической логике предикатов продолжают действовать принцип двузначности классической логики высказываний: каждое высказывание принимает в точности одно из двух значений – истина (истинно) или ложь (ложно). Принцип функциональности работает для связок логики высказываний, но в логике предикатов вводятся две новые логические операции, которые не функциональны – кванторы: $ и ". В естественном языке символу $ – квантору существования – соответствуют выражения некоторый, какой-то, существует, найдется, какой-нибудь и т.п., а символу " – квантору общности – соответствуют выражения любой, всякий, произвольный, все, каждый и т.п.

Тема 1: Язык классической логики предикатов первого порядка

Основные понятия, которые необходимо усвоить: · логические и нелогические символы в ЯКЛП¹ = · язык классической логики предикатов с символом равенства = (ЯКЛП¹=) · логические и нелогические символы в ЯКЛП¹ · правильно построенные выражения ЯКЛП¹: терм и формула ЯКЛП¹⁼ · графы, соответствующие процедуре построения термов и формул ЯКЛП¹⁼ · область действия квантора · свободные и связанные переменные · предложение ЯКЛП¹ = (замкнутая формула)

Алфавит ЯКЛП¹⁼ (перечень исходных символов)

I. Нелогические символы:

1. a, b, c, a₁, b₁, c₁, a₂… - индивидные (предметные) константы;

2. fⁿ, gⁿ, hⁿ, f₁ⁿ, g₁ⁿ, h₁ⁿ, f₂ⁿ,… - функциональные константы;

3. Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Sⁿ, P₁ⁿ, Q₁ⁿ, R₁ⁿ, S₁ⁿ, P₂ⁿ … – предикатные константы;

4. x, y, z, x₁, y₁, z₁, x₂… - индивидные (предметные) константы.

II. Логические символы:

Ø, &, Ú, É, º, ^, Т, $, ", =.

III. Технические символы: левая и правая скобки и запятая: (),.

Терм ЯКЛП¹:

1. всякая индивидная константа (a, b, c, a₁, b₁, c₁, a₂ и т.д.) есть терм;

2. всякая индивидная переменная (x, y, z, x₁, y₁, z₁, x₂ и т.д.) есть терм;

3. если Fⁿ есть какой-либо n-местный функциональный символ (fⁿ, gⁿ, hⁿ, f₁ⁿ, g₁ⁿ и т.д.) и о последовательностях символов t₁, t₂,…, t_n известно, что каждый из них есть терм, тогда термом также будет такая последовательность символов: Fⁿ(t₁, t₂,…, t_n).

4. терм есть последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-4.

1. b - по п.1

2. b₄₁₁ – по п.1

3. x₁ – по п.2

4. h¹(z) – по пп.2,3

5. h²(c,с) – по пп.1,3

6. h¹(h¹(z)) – по пп.2,3

7. f²(h¹(z),a) – по пп.1,2,3

8. f²(h¹(z), h²(y,z)) – по пп. 1,2,3

9. g³(h¹(h¹(а)), a, с) – по пп.1,3

Определение терма носит чисто синтаксический характер: оно задает некоторый класс записей, составленных из символов алфавита нашего языка, но не аппелирует к возможным смыслам этих записей, т.е. сами записи, подпадающие под определение терма, рассматриваются просто как последовательности некоторых объектов. Но эта дефиниция вводилась, разумеется, для того, чтобы впоследствии связать с ней осмысленные выражения некоторого типа, а именно: задающие объекты. Покажем (в предварительном порядке), как записи, имеющие вид терма, определяют структуры имен и именных форм. Так, структуру h¹(h¹(а)) имеют выражения 6²², ÖÖ5, отец отца Сократа. А такую форму как f²(a,h¹(z)) имеют, например, выражения 5+z², 7-z³, p+Öy, 5×у⁴, 5×sinx.

Формула ЯКЛП¹⁼:

1. ^, Т – формулы;

2. если Рⁿ есть какой-либо n-местный предикатный символ (Pⁿ, Qⁿ, Rⁿ, Sⁿ, P₁ⁿ и т.д.), а t₁, t₂,…, t_n – термы, тогда последовательность символов

Рⁿ(t₁, t₂,…, t_n) является формулой;

3. если t₁, t₂ – термы, тогда последовательность t₁=t₂ есть формула;

4. если А – формула, тогда ØА тоже формула;

5. если А и В – формулы, тогда (А&В), (АÚВ), (АÉВ), (АºВ) – формулы;

6. если К – квантор ($ или "), a - индивидная переменная и А – формула, тогда следующая последовательность также является формулой: КaА;

7. формулой является последовательность символов, которая может быть построена по пп.1-7.

Самые простые (в смысле построения) формулы назовем атомарными. Атомарная (элементарная) формула – формула, построенная по каким-то из пунктов 1-3.

Формулы, процедура построения которых включает хотя бы один из пп.3-6 назовем составными (сложными, молекулярными).

Вместо Ø t₁=t₂ будем писать t₁¹t₂.

Дата добавления: 2014-12-27