Упражнения. 8. Каждому выражению сопоставьте его логическую форму (иногда возможны несколько вариантов)

8. Каждому выражению сопоставьте его логическую форму (иногда возможны несколько вариантов)

(1)⁺ столица РФ

варианты:

а) Р(a,c) б) f(х) в) g(f(с)) г) f(a,b)

д) f(х,у) е) Р(х) ж) Р(c) з) f(a)

(2)⁺ население столицы РФ

варианты:

а) f(a,c) б) f(х,g(c)) в) g(f(с)) г) f(a,b,с) д) f(х,у)

е) f(а,g(c)) ж) Р(х) з) Р(х,у) и) Р(g(c)) к) f(a,b)

(3)⁺ Население столицы РФ больше, чем население Нью-Йорка

варианты:

а) "x P(f(h(x)), f(с)) б) g(f(с)) в) f(х,у) г) Р(g(f(c)), g(а))& Q(a)

д) Р(g(f(c)), g(а)) е) h((g(f(c)), g(а))) ж) Р(g(c,а), а) з) f(a,b)

(4)⁺ Население столицы США больше населения столицы Чехии, но не больше населения столицы РФ.

варианты:

а) Р(h(g(c)),h(g(а)))&ØР(h(g(a)),h(g(b))) б) Р(h(g(c)),h(g(а)))&ØР(g(h(c)),h(g(b)))

в) Р(h(g(c)),h(g(а)))&ØQ(h(g(c)),h(g(b)))

г) Р(g(c),g(а)) É ØР(g(c),g(b)))

д) Р(h(g(c)),h(g(а)))&ØР(h(g(c)),h(g(b)))

(5)⁺ отец отца Сократа

варианты:

а) f(g(a)) б) f(f(х)) в) f(f(с))

г) Р(f(a)) д) Р(a,a) е) f(a,b)

(6)⁺ возраст матери отца Сократа

варианты:

а) f(g(х)) б) g(f(h(c))) в) g(f(h(y)))

г) Р(f(h(a))) д) Р(a,b,c) е) f(a,b,c)

(7)⁺ Все дети любят мороженое.

варианты:

а) "xP(x) É "xQ(x)

б) "x (P(x) É Q (y))

в) "x (P(x) & Q (y))

г) $x (P(x) & Q(х))

д) "x P(x) É Q(х)

е) "x P(x) & Q (х)

ж) "x (P(x) & Q (х))

з) "x (P(x) É Q (x))

и) "xP(x) & "xQ(x)

(8)⁺ Рукописи не горят. (М.Булгаков)

а) "xP(x) É "xØQ(x)

б) "x (P(x) É ØQ(y))

в) "x (P(x) & ØQ(х))

г) "x (P(x) É ØQ(x))

д) Ø"xP(x)

е) "x P(x) É ØQ(х)

ж) P(x) É ØQ(x)

з) "xØP(x)

и) $x (P(x) & ØQ(х))

к) $xP(x) & $xQ(x)

л) "x (P(x) & ØQ(х))

(9)⁺ Некоторые мотоциклы дороже иных машин.

а) $x(P(x) & Q(х) & S(х,у)))

б) $x(P(x) & $у(Q(у) & S(х,у)))

в) $x$уS(х,у)

г) $x$у(P(x) & Q(у) & S(х,у)))

д) $x(P(x) & Q(х) & S(х,х)))

е) $xS(х,х)

(10)⁺ Все политики честолюбивы, неискренни или недальновидны.

а) "x((P(x) & Q(x) & ØR(x)) Ú ØS(x))

б) "x((P(x) & Q(x) & Ø R(x)) & Ø S(x))

в) "x(P(x) É (Q(x) Ú ØR(x) Ú ØS(x)))

г) "x(P(x) É (Q(x) & (ØR(x)) Ú ØS(x))))

д) "xP(x) É (Q(x) & (ØR(x)) Ú ØS(x)))

е) "xP(x) & (Q(x) Ú Ø R(x) Ú Ø S(x))

(11)⁺ Мать Сократа не мудрее ни Сократа, ни отца Сократа.

а) ØР(g(c),с) & ØР(g(c),h(с))

б) ØР(g(c),а) & ØР(g(c),h(а))

в) "x (ØР(g(c),а) & ØР(g(c),h(а)))

г) "x (ØР(g(c),а) É ØР(g(c),h(а)))

д) $x (ØР(g(х),а) & ØР(g(х),h(а)))

е) $x (ØР(g(х),х) & ØР(g(х),h(х)))

(12)⁺ Каждый первокурсник знает хотя бы одного второкурсника

а) "x (Р(х) É $у(Q(y) & R(х,у))

б) "x (Р(х) É $х(Q(y) & R(х,у))

в) "x "у(Р(х) & Q(y) & R(х,у))

г) "x (Р(х) & Q(х) & R(х,у))

(13) расстояние от Москвы до Санкт-Петербурга

варианты:

а) f(a,а) б) f(х,b) в) f(a,с) г) f(a,b,с)

д) f(х,у) е) Р(х,у) ж) Р(а,с) з) f(a,b)

(14) расстояние от … до…

варианты:

а) f(х,b) б) f(a,с) в) f(х,у)

г) Р(х,у) д) f(z,у) е) f(у,у)

(15) расстояние от… до Москвы

варианты:

а) f(a) б) f(х,b) в) f(a,с)

г) f(a,b) д) Р(х,а) е) Р(а,с)

(16) расстояние от столицы… до столицы…

варианты:

а) g(f(a),f(b)) б) f(х,y) в) f(a,с)

г) g(f(a),f(b)) д) Р(g(х),g(y)) е) Р(x,y)

(17) (быть) старше

варианты:

а) Р(g(х),у) б)Р(а,c) в) Р(х)

г) Р(у,х) д) Р(у,а) е) "x"у Р(х,у)

(18) психолог

варианты:

а) Р(c) б) R(z) в) Р(х)

г) Р(у,х) д) Р(у,а) е) "x Р(х)

(19) Кто ходит в гости по утрам, тот поступает мудро.

варианты:

а) "x (P(x) É Q(x))

б) "x (P(x) É Q(y))

в) "x (P(x) & Q (y))

г) $x (P(x) & Q(х))

д) "x P(x) É Q(х)

е) "x (P(x) & Q (х))

(20) Некоторые психологи – интроверты.

варианты:

а) $x (P(x) Ú Q(х))

б) P(x) & Q(х)

в) $x P(x) & Q(х)

г) $x (P(x) & Q(х))

д) $x (P(x) & Q(х)) & $x (P(x) & ØQ(х))

(21) Лишь некоторые политики мошенники.

варианты:

а) Ø$x (P(x) & Q(х))

б) $x (P(x) & Q(х))

в) $x (P(x) & Q(х)) & $x (P(x) & R(х))

г) $x(P(x) & Q(х)) & $x(P(x) & ØQ(х))

д) $x P(x) & Q(х) & $x P(x) & ØQ(х)

е) $x(P(x) & Q(х)) Ú $x(P(x) & ØQ(х))

(22) Все студенты нашего курса знают друг друга.

варианты:

а) "x(P(x) É Q(x,х))

б) "x"у((P(x) & Р(у)) É (Q(x,у)& Q(у,х))

в) "x"у((P(x) & Р(у)) É (Q(x,у) Ú Q(у,х))

г) "x"у((P(x) & Р(у)) & (Q(x,у)& Q(у,х))

(23) Некоторые современники А.С.Пушкина не знали его лично.

варианты:

а) $x(Р(х,у) & ØQ(x,у))

б) $x(Р(х,а) É ØQ(x,а))

в) $x(Р(х,а) & ØQ(x,а))

г) $xР(х,а) & ØQ(x,а)

(24) Муха – не орел, но тоже летает.[3]

а) "x (ØP(x) É Q(x))

б) "x (P(x) É (Q(y) & R(z))

в) ØP(а) & Q(а)

г) $x (P(x) & ØQ(х) & R(х))

д) "x (P(x) É (ØQ(х) & R(х))

е) Ø(P(а) º Q(с)) & R(а) & R(c)

ж) (P(а) º ØQ(с)) & R(а) & R(c)

з) "x "у((P(x) & Q(y))É (ØQ(х) & R(х) &R(y))

и) "x (P(x) É "у (Q(y)É (ØQ(х) & R(х) &R(y)))

(25) Любой древнегреческий писатель родился раньше любого французского.

а) "x ((P(x) & Q(х)) É R(х,у))

б) "x "уR(x,y)

в) "x (P(x) É "у(Q(у) É R(х,у)))

г) $x (P(x) & ØQ(х) & R(х))

д) "x "у((P(x) & Q(у)) É R(х,у))

е) "x "у((P(x) & Q(у)) É R(х,у₁))

(26) Мужчина стоит столько же, сколько и его галстук. (О. де Бальзак)

а) P(x) º Q(у)

б) "x((P(x) & Q(у)) É g(х)=g(у))

в) "x"у((P(x) º Q(у))

г) g(а)=g(с)

д) "x"у((P(x) & Q(у)) É g(х)=g(у))

е) $x $у((P(x) & Q(у)) É g(х)=g(у))

ж) а=с

9. Сопоставьте выражениям из левой колонки их логические формы из правой.

(1) Кто ищет, тот найдет.	(а) S(x,a,b)
(2) Африка	(б) $x(P(x)&Q(х))&$x(P(x)&ØQ(х))
(3) континент
(4) современник	(в) $x(P(x)&Q(х))
(5) А.С.Пушкин и О. де Бальзак – ровесники.
(6) Каждый школьник изучает математику.
(7) разница в возрасте отца А.С.Пушкина и А.С.Пушкина	(г) Р(у)
(8) Только некоторые птицы умеют летать.	(д) Р(с,a)
(9) расположенный между Москвой и Смоленском
(10) Петр I	(е) "x(P(x) É Q(x))
(11) расстояние от столицы США до Калифорнии	(ж) g(h(a),a)
(12) Некоторые птицы умеют плавать.	(з) Р(х,у)
(13) Иные россияне ходят на выборы.	(и) а2
(14) Лишь некоторые россияне были на Дальнем Востоке.

Примеры переводов предложений на ЯКЛП с их разбором

Пример 1 Аристотель – философ.

В этом предложении вообще нет логической информации (с точки зрения изложенного в этом учебнике метода анализа). Проанализируем нелогическую часть.

Философ – одноместный предикат, Аристотель – логическое имя. Введем подходящую символизацию (т.е. для предиката естественного языка введем какой-нибудь одноместный предикатный символ, а логическое имя заменим на – какую-нибудь – индивидную константу).

нелогические выражения данного предложения	символизация
философ	Р^1
Аристотель	а

Теперь нужно введенные символы соединить так, чтобы на выходе получилась формула нашего формализованного языка
(ЯКЛП). Для этого, кажется, не обязательно быть homo sapiens.

Структура предложения 1: Р¹(а). (Верхний индекс можно опустить и записать Р(а), поскольку из самой записи местность предиката однозначно восстанавливается.)

Пример 2 А.С.Пушкин и М.Ю.Лермонтов – современники.

Хотя это предложение содержит «и», оно не является составным, т.е. не состоит из двух простых высказываний, соединенных «и». Предложение 2 утверждает то же, что и предложение «А.С.Пушкин – современник М.Ю.Лермонтова», - где уже нет никакого «и».

В примере 2 один предикат – современник. Это двухместный предикат: (кто?) современник (кого?). И, разумеется, рассматриваемое предложение содержит два логических имени: А.С.Пушкин и М.Ю.Лермонтов. Параметризуем эти выражения.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
современник	2-местный предикат	Р^2
А.С.Пушкин	логическое имя	а
М.Ю.Лермонтов	логическое имя	b

Структура примера 2: P²(a,b), или P(a,b).

Пример 3 А.С.Пушкин – современник и Наполеона Бонапарта, и О. де Бальзака, но не современник М. де Сервантеса.

Это предложение состоит из трех простых:

А.С.Пушкин – современник Наполеона Бонапарта.

А.С.Пушкин – современник Бальзака.

А.С.Пушкин – современник Сервантеса.

Все три предложения соединены конъюнкцией, последнее предложение стоит под отрицанием.

Введем параметры для нелогических выражений этого примера.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
современник	2-хместный предикат	Р^2
А.С.Пушкин	логическое имя	а
Наполеон Бонапарт	логическое имя	а1
О.де Бальзак	логическое имя	а2
М. де Сервантес	логическое имя	а3

Структура примера 3: Р(а,а₁)&P(a,a₂)&ØP(a,a₃).

Пример 4 Москва находится между Петербургом и Киевом.

В этом предложении один трехместный предикат находится между (что? находится между чем? и чем?) и три логических имени. Введем, например, такую символизацию.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
находится между	3-местный предикат	R^3
Москва	логическое имя	а
Петербург	логическое имя	b
Киев	логическое имя	c

Структура примера 4: R(a,b,c).

Пример 5 Некоторые студенты любознательны.

В предложении имеются два одноместных предиката: «студент» и «любознательный».

Введем символизацию:

«студент» – Р(…)

«любознательный» – Q(…).

Примеры неправильных вариантов перевода:

(a) ∃хP&Q

Эта запись вообще не является формулой: после предикатных знаков не указаны объекты (термы), к которым они относятся.

(b) ∃хP(x)&Q(x)

Формула (b) говорит, что существуют объекты (по меньшей мере один такой объект существует), обладающие свойством Р, и на этом рассказ об этих объектах заканчивается, далее идет выражение «обладать свойством Q», причем неизвестно, есть ли вообще объекты, обладающие этим свойством (переменная х в Q(x) – не связана никаким квантором). Чтобы показать, что существуют объекты, обладающие одновременно и свойством Р, и Q, нужно после квантора ∃х поставить следующее выражение в скобках (P(x)&Q(x)). Тогда результирующая формула прочитывается так: «Имеется объект – далее открывается скобка и начинается рассказ об этом объекте, – который обладает свойствами Р и Q». Здесь первая скобка формулы закрывается и завершается рассказ об этом объекте х.

(c) ∃хP(x) &∃хQ(x)

Формула (c) прочитывается: существует объект, обладающий свойством Р и еще существует (возможно, другой) объект, обладающий свойством Q. Понятно, что смысл исходного предложения (примера 1) иной.

Правильный вариант перевода: ∃х(P(x)&Q(x)) [4].

Пример 6 Некоторые студенты знают английский язык, некоторые – нет.

В предложении имеются два одноместных предиката:

«студент»,

«знать английский»[5].

Введем символизацию:

«студент» – Р (…),

«знать английский» – Q (…).

Пример неправильного варианта перевода:

(a) ∃х((P(x)&Q(x))&(P(x)&Q(x)))

Формула (a) говорит, что существуют объекты х (по меньшей мере один такой объект существует), которые – далее открывается скобка и начинается рассказ об этих объектах – обладают свойствами Р(х), Q (x), Р(х) и Q(x). Здесь закрывается первая скобка формулы, и на этом рассказ об упомянутых в начале объектах заканчивается. Формула (a) два раза сообщила одно и то же, именно: что рассматриваемые объекты обладают свойством Р. Это, конечно, неэкономно (избыточно), но логический смысл формулы от этого никак не меняется. Плохо другое: оказывается, в формуле (a) речь идет о загадочных объектах, которые и обладают неким свойством Q, и им же не обладают. Или – с учетом нашей интерпретации предиката Q – есть такие студенты, которые и знают, и не знают английский. Не вдаваясь в исследование смысла этого загадочного предложения (оно, конечно, логически противоречиво), констатируем: смысл исходного высказывания примера 2 иной. Чтобы адекватно отобразить его логическую структуру, нужно ввести еще один квантор существования.

Правильный вариант перевода (ПВ): ∃х (P(x)&Q(x)) &∃х(P(x)&Q(x)).

(Сплошная линия указывает область действия первого квантора существования, пунктирная – второго)[6].

В самом деле, формула (ПВ) прочитывается так: имеются (∃) объекты х – открывается скобка и начинается рассказ о них – которые обладают свойствами P и Q, далее первая скобка закрывается и здесь заканчивается рассказ об упомянутых вначале объектах х, и еще существуют объекты х – открывается скобка и начинается о них рассказ – которые свойством Р обладают, а свойством Q – нет. Скобка после второго квантора закрывается, и рассказ о вторых объектах завершен.

Некоторых студентов смущает употребление после обоих знаков кванторов одной и той же переменной х. В данном случае это вполне корректно, т.к. области действия этих кванторов не пересекаются. Но если вы, сомневаясь в этом месте, введете для второго квантора другую переменную, ваш вариант тоже будет правильным: ∃х(P(x)&Q(x))&∃у(P(у)&Q(у)). (Эта формула логически эквивалентна формуле (ПВ))

Пример 7 Все русские любят быструю езду.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
русский	1-местный предикат	Р^1
любить быструю езду	1-местный предикат	Q^1

Примеры неправильных вариантов перевода:

(a) "х((P(x)&Q(x)).

Прочтем эту структуру с учетом введенной символизации: «Для любого объекта верно, что он русский и что он любит быструю езду», или, с учетом того, что введенные предикаты относятся только к людям, «Для любого человека верно, что он русский и любит быструю езду». Очевидно, что по структуре (а) мы не получили предложение примера 7.

Пример 7 не утверждает, что каждый и русский, и езду быструю любит, а утверждает, что если ты русский, то ты точно любишь быструю езду, точнее: «Для любого человека верно, что если он русский, то он любит быструю езду». Таким образом, вместо «и» структура примера 7 предполагает условную связь «если - то».

(b)"хP(x) É Q(x), - здесь квантор общности относится только к формуле Р(х), и информация, что все х обладают свойством Q (при условии, что они обладают свойством Р) «не дотягивает» до Q(x). (Кроме того, главный знак этой формулы – É, а она сама является одноместным предикатом (содержит одну свободную переменную) и, значит, вообще не задает структуру предложения, – предложению соответствуют формулы без свободных переменных.)

(с) "хP(x)&Q(x). Этот вариант сочетает ошибки вариантов (а) и (b).

Вообще если в предложении содержится квантор общности, то, скорее всего, его структура будет содержать импликацию, а если квантор существования, то, скорее всего, структура также содержит и конъюнкцию.

" Þ É $Þ &

Структура примера 7: "х(P(x) É Q(x)).

Пример 8 Все русские любят быструю езду, и ни один финн не любит.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
русский	1-местный предикат	Р^1
финн	1-местный предикат	S^1
любить быструю езду	1-местный предикат	Q^1

Структура примера 8:

1-й вариант: "х(P(x) É Q(x)) & "х(S(x) É ØQ(x)).

2-й вариант: "х((P(x) É Q(x)) & (S(x) É ØQ(x))).

3-й вариант: "х((P(x) É Q(x)) & Ø$х(S(x) & Q(x))).

Пример 9 Не всякий двуногий и бесперый является человеком.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
двуногий	1-местный предикат	Р^1
бесперый	1-местный предикат	S^1
человек	1-местный предикат	Q^1

Переформулируем так: Неверно, что любой объект, который является двуногим и бесперым, является человеком. Тогда структура примера 9 имеет вид: Ø"х((P(x) & S(x)) É Q(x)).

Пример 10 Все студенты первого и второго курсов нашего вуза изучают математику.

Распределим нелогические выражения данного высказывания по категориям значения следующим образом.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
студент первого курса нашего вуза	1-местный предикат	Р^1
студент второго курса нашего вуза	1-местный предикат	S^1
изучать	2-местный предикат	Q^2
математика	логическое имя	а

Неправильный вариант:"х((P(x) & S(x)) É Q(x,а)).

Данная формула означает, что для любого х верно, что если он является студентом и первого, и второго курса нашего вуза (P(x) & S(x)), то он изучает математику.

Также неправильным будет такое изменение: "х((P(x) Ú S(x)) É Q(x,а)). Вроде бы стало лучше, теперь формула прочитывается: Для любого х верно, что если он - студент первого или второго курса нашего вуза, то он изучает математику. Но последнее высказывание истинно, даже если математику изучают только все студенты первого курса (или все студенты второго), в то время как исходное предложение примера 9 истинно, только если математику изучают все и на первом, и на втором курсах.

Структура примера 9:

1-й вариант: "х((P(x) É Q(x,а)) & (S(x) É Q(x,а))) (главный знак - ")

2-й вариант: "х(P(x) É Q(x,а)) & "х (S(x) É Q(x,а)) (главный знак – &)

Пример 11 У каждого человека есть современник.

При определении логической структуры данного предложения, можно принимать в расчет предикат человек, но можно и не принимать, – отношение современник обычно только на людях и определяется[7].

Тогда в предложении остается одно нелогическое выражение: современник. Это двухместный предикат: кто? современник кого? Заменим его символом Р². В предложении есть два квантора: общности (у каждого) - ", и существования (есть) - $. Сразу после каждого квантора должна стоять предметная переменная.

Структура примера 11: "х$уР(х,у).

Следующие варианты неправильны.

$х"уР(х,у), - порядок следования кванторов общности и существования важен; последняя формула прочитывается так: есть ($х) человек, который современник всем ("х), - что не соответствует содержанию примера 11.

"х$хР(х,х) – запись Р(х,х)означает быть современником себе.

В записях "хР(х,у)и $уР(х,у), разумеется, не хватает кванторов.

Если бы мы ввели символ для одноместного предиката человек, например, Q¹, тогда структура рассматриваемого примера выглядела бы так:

"х(Q(х) É $у(Q(у) & Р(х,у)), либо так: "х$у ((Q(х) & Q(у)) É Р(х,у)).

Пример 12 Нет человека, который современник всем.

Опять опустим информацию человек. Символизация, как в предыдущем примере.

Структура примера 12: Ø$х"уР(х,у).

Пример 13 Каждый уважает кого-нибудь, кто ему не современник.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
уважать	2-естный предикат	S^2
современник	2-местный предикат	Р^2

Структура примера 13: "х$у(S(х,у) & ØР(х,у)).

Пример 14 Есть люди, которые сражались с Александром Македонским, есть те, которые сражались с Юлием Цезарем, но нет таких, которые сражались с ними обоими.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
Александр Македонский	логическое имя	а
Юлий Цезарь	логическое имя	b
сражаться с кем-либо	2-местный предикат	Р^2

Структура примера 14: $хР(х,а) & $хР(х,b) & Ø$х(Р(х,а) & Р(х,b)).

Следующий вариант также правилен:

$хР(х,а) & $уР(у,b) & Ø$z(Р(z,а) & Р(z,b)).

Пример 15 Некоторые первокурсники знают некоторых второкурсников лучше, чем любого пятикурсника.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
первокурсник	1-местный предикат	S^1
второкурсник	1-местный предикат	Р^1
пятикурсник	1-местный предикат	Q^1
знать лучше, чем	3-местный предикат	R^3

Структура примера 15:

$х$у(S(х) & P(y) & "z(Q(z) É R(x,y,z))),

или так: $х (S(х) & $у P(y) & "z(Q(z) É R(x,y,z))),

или так: $х$у"z ((S(х) & P(y) & Q(z)) É R(x,y,z))).

Пример 16 Некоторые американцы, и мать, и отец которых родились в России, говорят по-русски хуже, чем американцы, отец и мать которых родились за пределами России.

нелогические выражения данного предложения	категория	символизация
Россия	логическое имя	a
русский язык	логическое имя	b
американец	1-местный предикат	Q^1
родиться в …	2-местный предикат	S^2
отец	1-местный функтор	f^1
мать	1-местный функтор	g^1
(кто-то) говорит на (каком-то) языке лучше, чем (кто-то)	3-местный предикат	R^3

Выше был выбран наиболее подробный вариант анализа нелогических составляющих предложения. Можно было бы вместо двухместного предиката родиться в… рассматривать одноместный предикат родиться в России, а также вместо трехместного (кто-то) говорит на (каком-то) языке лучше, чем (кто-то), ввести символ для двухместного (кто-то) говорит по-русски лучше, чем (кто-то).

Структура примера 16:

$х$у(Q(х)&Q(y) & S(g(x),a)& S(f(x),a)& ØS(f(у),a) & ØS(g(у),a)&R(x,b,y)).

Можно квантор по у пронести внутрь формулы и туда же сместить «историю про у–ки и их отношения с х-ми»:

$х(Q(х)&S(g(x),a)&S(f(x),a)&$у(Q(y)& ØS(f(у),a) & ØS(g(у),a)&R(x,b,y)).

Дата добавления: 2014-12-27