Гл.5 Упр.20

Гл.4 Упр.10

Гл.4 Упр.8

(1) вариантз)

(2) вариант в)

(3) вариантд)

(4) вариантд)

(5) вариант в)

(6) вариант б)

(7) вариантз)

Чтение некоторых неправильных вариантов:

если Р(х) – быть ребенком, а Q(x) – любить мороженое, тогда вариант а) "xP(x)É"xQ(x) прочитывается Если все дети, то все любят мороженое;

вариант б) содержит свободное вхождение переменной - у: "x(P(x)ÉQ(y)), - и поэтому не задает структуру предложения (а задает структуру одноместного предиката);

в) "x (P(x) & Q (y)) – Все являются детьми и любят мороженое;

г) $x (P(x) & Q(х)) – Существует ребенок, который любит мороженое;

д) "x P(x) É Q(х) – второе вхождение переменной х свободное.

и) "xP(x) & "xQ(x) – Все дети и все любят мороженое.

(8) Утверждение предполагает, что все рукописи не горят, поэтому правильный вариант б).

(9) варианты б) и г).

(10) вариант в).

Вариант б) "x((P(x)&Q(x) & ØR(x))&ØS(x)) прочитывается: все являются политиками, а также честолюбивыми, неискренними и недальновидными людьми.

(11) вариант а)

Предложение (11) не содержит кванторных слов, поэтому все варианты, содержащие кванторы, не соответствуют его структуре.

(12) вариант а).

1. "х(P(х) É Q(x))

2. $х(Q(x) & "y(R(x,y) É Р(у)));

можно также $х"y(Q(x) & (R(x,y) É Р(у)))

3. Ø"х(Q(x) É Р(х))

4. "х(S(х) É ØR(a,x));

или так (учитывая, что Джонс - судья): "х(S(х) É (ØR(a,x) & Р(а))

5. $х(Q(x) & R(x,а)) & $х(S(x) & R(x,а)); или так (включая информацию, что объект а из класса Р):

$х(Q(x)&R(x,а)&Р(а)) & $х(S(x)&R(x,а) &Р(а))

6. "х"у((Q(x) & R(x,y)) É Q(у)); или так: "х (Q(x) É"у(R(x,y) É Q(у)))

7. "х"у((Q(x) & R(у,х)) É Q(у)); или так: "х (Q(x) É"у(R(у,х) É Q(у)))

(5) Q(a)&Q(c) & ØQ(b)

Данная структура говорит, что некоторые фиксированные объекты а и с обладают свойством Q, а объект b этим свойством не обладает.

Модель для формулы (5) (одна из возможных):

I:

U = N

|Q¹|_I – четное число (из записи формулы следует, что предикат Q - одноместный)

|a |_I - 2

|b|_I - 5

|c|_I - 4

В данной интерпретации рассматриваемая структура прочитывается: 2 и 4 – четные числа, а 5 – нет.

Имеем: |Q(a)|_I=и, |Q(c)|_I = и, |Q(b)|_I = л.

Тогда |ØQ(b)|_I=и (отрицание меняет значение высказывания на противоположное).

Конъюнктивное высказывание истинно, е.т.е. оба конъюнкта истинны. Последовательно вычисляя значение конъюнкций (неважно, в каком порядке: конъюнкция ассоциативна), получаем |Q(a)&Q(c) & ØQ(b)|_I=и.

Контрмодель, т.е. интерпретацию в которой данная формула ложна, можно построить, минимально видоизменив предыдущую интерпретации. Приведем два примера контрмодели для (5).

I₁:

U = N

|Q¹|_I1 – четное число

|a |_I1 - 1

|b|_I1 - 5

|c|_I1 - 4

В данной интерпретации рассматриваемая структура прочитывается: 1 – четное число, и 4 – четное, а 5 – нет. Имеем три высказывания, соединенных конъюнкцией. Первое из высказываний ложно, значит, по определению конъюнкции ложно и все высказывание в целом.

I₂:

U = N

|Q¹|_I2 – нечетное число

|a |_I2 - 2

|b|_I2 - 5

|c|_I2 - 4

В данной интерпретации рассматриваемая структура прочитывается: 1 – нечетное число, и 4 – нечетное, а 5 – нет. Имеем три высказывания, соединенных конъюнкцией. Каждое из этих высказываний ложно, значит, по определению конъюнкции ложно и все высказывание в целом.

(7) P (b, а) º P (a, b)

Данная формула прочитывается: объект а находятся в отношении Р с объектом b в том и только в том случае, если объект b находится в этом отношении с объектом а.

Дата добавления: 2014-12-27