Пружинный маятник. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта

Поглощая фотон сэнергиейhv, электрон затрачивает ее на работу А выхода с кинетической энергиейЕкин=½mv2=hv- Авых. Она аналогична энергии ионизации и связи шарика в потенциальной яме (силы тяжести)с Екин=½mv2=Е-mgH, гдеH– высота барьера,определяет и задерживающее напряжение Ек-мах=eUз.Красная граница фотоэффекта означает электроны со скоростью Екин=½mv2=hv- Авых>0, с hvмин=Е=hc/λкр=Авыхили λкр=hс/Авых.

Одновременно теория относительности Эйнштейна1905 г.установила связь энергии, массы и импульса вещества по формуле Е=с√(p2+m2c2), включая связь энергии имассы покоявещества Е=mc2и импульс частиц без массыЕ=рс.

Свет и его частицы -фотоныв отличии от других частиц не имеют массы и состояния покоя (mо=0), заряда (электрически нейтральны),движутся со скоростью света независимо от систем отсчета (v=c).Энергия иимпульс фотонаE=hv,p=E/c=hv/c=h/λ.

Постоя́нная Пла́нка, обозначаемая как h, является физической постоянной, используемой для описания величины кванта действия в квантовой механике. H = 6,626 068 96(33) • 10−34 Дж∙c.

Пружинный маятник — механическая система, состоящая из пружины с коэффициентом упругости (жёсткостью) k (закон Гука), один конец которой жёстко закреплён, а на втором находится груз массы m.

Прямолинейное движение тела описывают посредством зависимости его координаты от времени: x = x(t). (1)

Если известны все силы, действующие на рассматриваемое тело, то эту зависимость можно установить при помощи второго закона Ньютона:

md2x /dt 2 = SF, (2) где m - масса тела.

Правая часть уравнения (2) есть сумма проекций на ось x всех действующих на тело сил.

В рассматриваемом случае главную роль играет упругая сила, которая является консервативной и может быть представлена в виде: F(x) = - dU (x)/dx, (3) где U = U(x) - потенциальная энергия деформированной пружины.

Пусть x есть удлинение пружины. Экспериментально установлено, что при малых значениях относительного удлинения пружины, т.е. при условии, что: ЅxЅ<< l, где l - длина недеформированной пружины.

Приближенно справедлива зависимость: U(x) = k x2/2, (4) где коэффициент k называют жесткостью пружины.

Из этой формулы вытекает следующее выражение для упругой силы: F(x) = - kx. (5) – закон Гука.

Кроме силы упругости на движущееся по плоскости тело может действовать сила трения, которая удовлетворительно описывается эмпирической формулой: Fтр = - r dx /dt, (6) где r - коэффициент трения.

С учетом формул (5) и (6) уравнение (2) можно записать так:

md 2x /dt 2 + rdx /dt + kx = F(t), (7) где F(t) - внешная сила.

Если на тело действует только сила Гука (5), то свободные колебания тела будут гармоническими. Такое тело называют гармоническим пружинным маятником.

Второй закон Ньютона в этом случае приводит к уравнению: d2x /dt 2 + w02x = 0, (8)

где: w0 = sqrt (k /m) (9) Общее решение уравнения (8) имеет вид: x(t) = A cos (w0 t + a), (10)

где амплитуда A и начальная фаза a определяются начальными условиями.

Когда на рассматриваемое тело действует только сила упругости (5), его полная механическая энергия не изменяется с течением времени: mv2 / 2 + k x2 /2 = const. (11)

Это утверждение составляет содержание закона сохранения энергии гармонического пружинного маятника.

Пусть на массивное тело кроме упругой силы, возвращающей его в положение равновесия, действует сила трения. В этом случае возбужденные в некоторый момент времени свободные колебания тела будут затухать с течением времени и тело будет стремиться к положению равновесия.

В этом второй закон Ньютона (7) можно записать так:

m d2x /dt 2 + rdx /dt + kx = 0, (12) где m - масса тела.

Общее решение уравнения (12) имеет вид:

x(t) = a exp(- bt) cos (wt + a), (13) где w = sqrt(wo2 - b2) (14) b = r /2 m (15)

- коэффициент затухания колебаний, амплитуда a и начальная фаза a определяются начальными условиями. Функция (13) описывает так называемые затухающие колебания.

Полная механическая энергия пружинного маятника, т.е. сумма его кинетической и потенциальной энергий

E = m v2 /2 + kx2/ 2 (16) изменяется с течением времени по закону: dE / dt = P, (17)

где P = - rv2 - мощность силы трения, т.е. энергия, переходящая в тепло за единицу времени.

Дата добавления: 2015-04-24