Задачи и методы сопротивления материалов

Сопротивление материалов - наука об инженерных методах расчета на прочность, жесткость и устойчивость элементов сооружений и деталей машин.

Методами со­противления материалов выполняются расчеты, на основании кото­рых определяются необходимые размеры деталей машин и конструкций инженерных сооружений. Любая конструкция должна обладать надежностью при эксплуатации и быть экономичной. В отличие от теоретической механики сопротивление материа­лов рассматривает задачи, в которых наиболее существенными яв­ляются свойства твердых деформируемых тел, а законами движения тела как жесткого целого здесь пренебрегают. В теоретической механике рассматривают равновесие абсолютно твердого (недеформированного) тела, при составлении уравнений равновесия допустимы замена системы сил статически эквивалентной системой, перенос сил вдоль линии их действия, замена ряда сил их равнодействующей. При решении задач сопротивления материалов, подобные замены или перенос сил недопустимы.

Прочность - это способность конструкции сопротивляться разрушению при действии на нее внешних сил (нагрузок).

Жесткость - способность элемента конструкции сопротивляться деформации.

Устойчивость - свойство системы сохранять свое начальное равновесие при внешних воздействиях.

15. Определение деформации при изгибе. Универсальное дифференциальное уравнение изогнутой оси балки.

Тогда дифференциальное уравнение (26) упрощается и принимает вид

равнение (27) носит название приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси упругой балки. Оно получено для случая чи­стого изгиба, но может быть использовано и при поперечном, когда мо­мент является функцией .

Интегрируя (27), получаем:

Все элементы конструкции подвергаются изгибу, они все рассчитываются на изгиб. При этом используют расчетную схему конструкции (наиболее распространенная расчетная схема для множества конструкций - балка на двух опорах). Балка — брус, который воспринимает поперечные нагрузки и работает на изгиб.

Деформация при изгибе — результат поворотов плоскостей поперечного сечения.Во всех точках поперечного сечения возникает касательное напряжение. Сумма всех сил касательного напряжения = внешней поперечной силе в этом сечении.

∑ t dS = Q

t = F/S — касательное напряжение,

сигма = F/S — нормальное напряжение

16. Виды напряженного состояния. Главные напряжения и главные площадки.

Напряженное состояние в точке тела – совокупность напряжений, действующих по бесчисленному множеству площадок, которые можно провести через данную точку.

Главные площадки – площадки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения – напряжения, действующие на главных площадках.

Виды напряженного состояния в точке:

а) линейное напряженное состояние – когда два главных напряжения равны нулю (одноосное растяжение или сжатие);

б) плоское напряженное состояние – когда только одно из главных напряжений равно нулю;

в) объёмное напряженное состояние – когда все три главных напряжения отличны от нуля.

Закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках касательные напряжения равны по абсолютной величине.

17. Основные дифференциальные зависимости при изгибе прямых брусьев. Применить на примере.

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой (рис. 6.12, а).

Рис. 6.12

Выделим из бруса элемент длиной и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 6.12, б). В пределах малого отрезка нагрузку можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 6.12, б), получим:

;

.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим теорему Журавского (теорему Шведлера):

откуда

Указанные дифференциальные зависимости при изгибе позволяют установить некоторые особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

1. Эпюра Q является прямолинейной на всех участках. На тех участках, где нет распределенной нагрузки, эпюра Q ограничена прямыми, параллельными оси эпюры, а эпюра М, в общем случае, – наклонными прямыми (рис. 6.13).

2. На тех участках, где к балке приложена равномерно распределенная нагрузка, эпюра Q ограничена наклонными прямыми, а эпюра М – квадратичными параболами (рис. 6.14). При построении эпюры М на сжатых волокнах, выпуклость параболы обращена в сторону, противоположную действию распределенной нагрузки (рис. 6.15, а, б).

Рис.6.13

Рис.6.14

3. В тех сечениях, где Q = 0, касательная к эпюре М параллельна оси эпюры (рис. 6.14, 6.15). Изгибающий момент в таких сечениях балки экстремален по величине (М _max, M _min).

4. На участках, где Q >0, M возрастает, то есть слева на право положительные ординаты эпюры M монотонно увеличиваются, отрицательные – монотонно уменьшаются (рис. 6.13, 6.14); на тех участках, где Q < 0, M убывает (рис. 6.13, 6.14).

5. В тех сечениях, где к балке приложены сосредоточенные силы:

а) на эпюре Q будут скачки на величину и в направлении приложенных сил (рис. 6.13, 6.14).

б) на эпюре M будут переломы (рис. 6.13, 6.14), острие перелома направлено против действия силы.

6. В тех, сечениях, где к балке приложены сосредоточенные моменты, на эпюре M будут скачки на величину этих моментов, на эпюре Q никаких изменений не будет (рис. 6.16).

Рис.6.15

Рис.6.16

7. Если на конце консоли или в концевой опоре приложен сосредоточенный момент, то в этом сечении изгибающий момент равен внешнему моменту (сечения C и B на рис. 6.16).

8. Эпюра Q представляет собой диаграмму производной от эпюры M. Значит, ординаты Q пропорциональны тангенсу угла наклона касательной к эпюре M (рис. 6.14).

9. Порядок линии на эпюре Q всегда на единицу меньше, чем на эпюре M. Например, если эпюра M - квадратная парабола, то эпюра Q на этом участке - наклонная прямая; если эпюра M - наклонная прямая, то эпюра Q на этом участке - прямая, параллельная оси; если M =const (прямая, параллельная оси), то на этом участке Q =0.

18. Метод сечений. Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях бруса. Классификация основных видов нагрузки.

Сила – это мера механического взаимодействия тел. По способу приложения внешние силы делятся на объемные и поверхностные.

Объемные силы распределены по всему объему рассматривае­мого тела и приложены к каждой его частице. В частности, к объ­емным силам относятся собственный вес сооружения, магнитное притяжение или силы инерции. Единицей измерения объемных сил является сила, отнесенная к единице объема - кН/м³.

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и являются результатом непосредственного контактного взаимодействия рас­сматриваемого объекта с окружающими телами. В зависимости от соотношения площади приложения нагрузки и общей площади поверхности рассматриваемого тела, поверхностные нагрузки под­разделяются на сосредоточенные и распределенные. К первым от­носятся нагрузки, реальная площадь приложения которых несоиз­меримо меньше полной площади поверхности тела (например, воз­действие колонн на фундаментную плиту достаточно больших раз­меров можно рассматривать как действие на нее сосредоточенных усилий). Если же площадь приложения нагрузки сопоставима с площадью поверхности тела, то такая нагрузка рассматривается как распределенная. Примером может служить собственный вес балки, действие снеговой или ветровой нагрузки на сооружение, давление жидкости в резервуаре. Распределенная нагрузка может действовать и по линии как, например, при соприкасании двух цилиндров при параллельном расположении их осей. Сосредоточенные усилия измеряются в кН, а распределенные - кН/м² или кН/м.

По времени действия внешние нагрузки (силы) разделяются на постоянные и временные. Собственный вес зданий – это постоянно действующая нагрузка; поезд, идущий через мост, - это нагрузка временная.

По характеру изменения силы во времени различают нагрузки статические и динамические. Статические нагрузки (постоянные) - такие, которые изменяют свою величину или точку приложения (направление) с очень небольшой скоростью, так что возникающими при этом ускорениями (силами инерции) можно пренебречь. Динамические нагрузки - изменяются во времени с большой скоростью, при этом силы инерции должны быть учтены, так как оказывают существенное влияние на конструкцию. Динамические нагрузки подразделяются на внезапно приложенные, повторно-переменные и ударные. Примером внезапно приложенной нагрузки может служить действие веса железнодорожного состава, проходящего через мост; повторно-переменной – нагрузка на шатун в двигателе внутреннего сгорания; ударной – действие силы удара молота на его фундамент или гидравлический удар в гидросистеме. Ударные нагрузки возникают также в случае плохой пригонки или износа сопряженных деталей, когда зазоры превышают величину, допустимую по конструктивным и технологическим условиям. Например, при износе зубьев шестерен или деталей шариковых подшипников в машине возникают характерные стуки, свидетельствующие о возникновении ударных нагрузок, быстро приводящих к выходу конструкции из строя.

Скорость роста усилий при динамическом нагружении не обеспечивает равновесности процессов, протекающих в материале, в результате чего возникают многочисленные нарушения внутренней структуры материала. При систематическом чередовании нагружения и разгрузки накопление дефектов структуры ведет к возникновению микроскопических трещин, слияние которых приводит к усталостному разрушению.

Взаимодействие между частями рассматриваемого тела характе­ризуется внутренними силами, которые возникают внутри тела под действием внешних нагрузок и определяются силами межмоле­кулярного воздействия. Эти силы сопротивляются стремлению внешних сил разрушить элемент конструкции, изменить его форму, отделить одну часть от другой.

В брусе сечение проводят перпендикулярно его оси. Такое сечение называют поперечным.

Величины внутренних усилий определяются с применением метода сечений, суть которого заключается в следующем. Если при действии внешних сил тело находится в состоянии равновесия, то любая отсеченная часть тела вместе с приходящимися на нее внешними и внутренними усилиями также находится в равновесии, следовательно, к ней применимы уравнения равновесия.

Рассмотрим тело, имеющее форму бруса (рис. 1.4, а).

Пусть к нему приложена некоторая система внешних сил Р ₁, Р ₂, Р ₃,..., Р_n, удовлетворяющая условиям равновесия, т.е. при дейст­вии указанных внешних сил тело находится в состоянии равнове­сия.

Если рассечь брус сечением А на две части и правую отбросить, то, т.к. связи между частями тела устранены, необходимо действие правой (отброшенной) части на левую заменить некоей системой внутренних сил (P_А ), действующей в сечении А (рис. 1.4, б).

Рис. 1.4

Обозначая через и суммы внешних сил, приложен­ных соответственно, к левой и правой частям бруса (относительно сечения А), и учитывая, что

(1.1)

для отсеченных частей бруса получим следующие очевидные соот­ношения:

; . (1.2)

Последние соотношения показывают, что равнодействующая внутренних сил Р_А в сечении А может определяться с равным успе­хом из условий равновесия либо левой, либо правой частей рассе­ченного тела. В этом суть метода сечений.

Внутренние усилия должны быть так распределены по сече­нию, чтобы деформированные поверхности сечения А при совме­щении правой и левой частей тела в точности совпадали. Это тре­бование в механике твердого деформируемого тела носит название условия неразрывности деформаций.

Воспользуемся правилами статики и приведем систему внут­ренних сил к центру тяжести сечения А в соответствии с прави­лами теоретической механики. В результате получим главный век­тор сил и главный вектор момента (рис. 1.5). Далее выбира­ем декартову систему координат xyz с началом координат, совпада­ющим с центром тяжести сечения А. Ось направим по нормали к сечению, а оси и расположим в плоскости сечения. Спроекти­ровав главный вектор сил и главный момент на координат­ные оси x, y, z, получаем шесть составляющих: три силы N_z , Q_x , Q_y и три момента M_z , M_x , M_y , называемых внутренними силовы­ми факторами в сечении бруса.

Составляющая N_z называется нормальной, или продольной си­лой в сечении. Силы Q_x и Q_y называются поперечными усилиями. Момент M_z называется крутящим моментом, а моменты M_x и M_y - изгибающими моментами относительно осей x и y, соответственно.

При известных внешних силах все шесть внутренних силовых факторов в сечении определяются из шести уравнений равновесия, которые могут быть составлены для отсеченной части.

Пусть R^*, M^* - результирующая сила и результирующий момент, действующие на отсеченной части тела. Если тело при действии полной системы внешних сил находится в равновесном состоянии, то условия равновесия отсеченной части тела имеет вид:

(1.3)

Последние два векторные уравнения равновесия дают шесть скалярных уравнений в проекциях на декартовых осях координат:

(1.4)

которые, в общем случае составляют замкнутую систему алгебраических уравнений относительно шести неизвестных внутренних усилий: , , , , , .

Рис. 1.5

Следовательно, если полная система внешних сил известна, то по методу сечений, всегда можно определить все внутренние усилия действующих в произвольно взятом сечении тела. Данное положение является основополагающим обстоятельством в механике твердого деформируемого тела.

В общем случае в сечении могут иметь место все шесть силовых факторов. Однако достаточно часто на практике встречаются случаи, когда некоторые внутренние усилия отсутствуют - такие виды нагружения бруса получилиспециальные названия (табл.1.1).

Таблица 1.1. Простейшие случаи сопротивления

Вид напряженного состояния	Nz	Qx	Qy	Mz	Mx	My
Растяжение/сжатие	+
Кручение				+
Чистый изгиб относительно оси х					+
Чистый изгиб относительно оси у						+
Поперечный изгиб относительно оси х			+		+
Поперечный изгиб относительно оси у		+				+

Примечание: + означает наличие усилия, 0 - его отсутствие.

Сопротивления, при которых в поперечном сечении бруса дей­ствует одно внутреннее усилие, условно называются простыми. При одновременном действии в сечении бруса двух и более усилий (например, изгиб с кручением) сопротивление бруса называется сложным.

В заключение заметим, что при выполнении практических рас­четов, для наглядности, как правило, определяются графики функ­ций внутренних силовых факторов относительно координатной оси, направленной вдоль продольной оси стержня. Графики изме­нения внутренних усилий вдоль продольной оси стержня называ­ются эпюрами.

19. Определение касательных напряжений при изгибе.

Выше было показано (8.4), (8.5), что касательные напряжения при плоском прямом изгибе зависят только от поперечных сил. Однако, при выводе формулы для касательных напряжений необходимо считаться с наличием изгибающих моментов, так как если то В общем случае

При этом скорость изменения моментов выше, чем скорость изменения поперечных сил. Поэтому, считаясь с приращением моментов, пренебрегаем изменением поперечных сил при переходе от одного к другому бесконечно близкому сечению

В силу закона парности касательные напряжения возникают не только в поперечных сечениях, но и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Поэтому вместо нахождения касательных напряжений, параллельных и действующих на уровне в поперечном сечении, можно определить равные им касательные напряжения, действующие на этом же уровне в продольном сечении

К выводу формулы Журавского

Чтобы определить касательные напряжения, действующие в сечении на уровне от нейтральной линии, в области этого сечения выделим бесконечно малый элемент балки. Для этого проведем два поперечных сечения 1, 2 (рис. 8.10) и одно продольное сечение, параллельное нейтральному слою и отстоящее от него на расстояние На рисунке (8.12) это сечения соответственно

элемента действуют искомые касательные напряжения параллельные и нормальные напряжения

По сечению элемента действуют такие же по величине касательные напряжения и нормальные напряжения

В сечении действуют касательные напряжения направленные в сторону меньшего нормального напряжения, а нормальные напряжения здесь отсутствуют или пренебрежимо малы

Составим условие равновесия выделенного элемента в виде суммы проекций всех сил на ось предполагая, что касательные напряжения а потому и по ширине сечения не меняются

После подстановки (8.11), (8.12), получим

абсолютная величина статического момента той части поперечного сечения, которая лежит ниже или выше уровня искомых напряжений

Из (8.13), принимая во внимание (8.1), получим расчетную формулу для касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях при плоском прямом изгибе параллельно на уровне от нейтрального слояСледует помнить, что касательные напряжения (8.15), параллельные в общем случае являются только частью полных касательных напряжений (рис. 8.5).

20. Осевое растяжение – сжатие. Основные понятия. Метод определения в.с.ф.

Под растяжением (сжатием) понимают такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только продольные силы , а прочие силовые факторы равны нулю.

Осевым растяжением бруса называется вид нагружения, при котором равнодействующая внешних сил прикладывается в центре тяжести поперечного сечения и действует вдоль продольной оси.

Продольная сила – внутреннее усилие, равное сумме проекций всех внешних сил, взятых с одной стороны от сечения, на ось стержня.

21. Деформации при осевом растяжении – сжатии. Закон Гука. Коэффициент Пуассона.

Рассмотрим однородный стержень с одним концом, жестко за­деланным, и другим - свободным, к которому приложена централь­ная продольная сила Р (рис. 2.8). До нагружения стержня его длина равнялась - после нагруженияона стала равной (рис. 2.8). Величину называют абсолютным удлинением стержня.

Рис. 2.8

Если в нагруженном стержне напряженное состояние является однородным, т.е. все участки стержня находятся в одинаковых ус­ловиях, деформация остается одной и той же по длине стержня и равной

. (2.4)

Если же по длине стержня возникает неоднородное напряжен­ное состояние, то для определения его абсолютного удлинения не­обходимо рассмотреть бесконечно малый элемент длиной dz (рис. 2.8). При растяжении он увеличит свою длину на величину и его деформация составит:

. (2.5)

В пределах малых деформаций при простом растяжении или сжатии закон Гука записывается в следующем виде (нормальные напряжения в поперечном сечении прямо пропорциональны относительной линейной деформации ):

. (2.6)

Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональ­ности, называемый модулем упругости материала первого рода (модуль продольной упругости). Его величина постоянна для каждого материала. Он характеризует жесткость материала, т.е. способность сопротивляться деформированию под действием внешней нагрузки.

Из совместного рассмотрения уравнений (2.5) и (2.6) получим:

,

откуда с учетом того, что

и ,

окончательно получим:

. (2.7)

Если стержень изготовлен из однородного изотропного мате­риала с Е = const, имеет постоянное поперечное сечение A = const и нагружен по концам силой Р, то из (2.7) получим

. (2.8)

Зависимость (2.8) также выражает закон Гука. Знаменатель EA называется жесткостью при растяжении - сжатии или продольной жесткостью.

При решении многих практических задач возникает необходи­мость, наряду с удлинениями, обусловленными действием механи­ческих нагрузок, учитывать также удлинения, вызванные темпера­турным воздействием. В этом случае пользуются принципом неза­висимости действия сил, и полные деформации рассматривают как сумму силовой и температурной деформаций:

, (2.9)

где - коэффициент температурного расширения материала; t -пе­репад температуры тела. Для однородного стержня, нагруженного по концам продольными силами Р и равномерно нагретого по длине, получим:

. (2.10)

Многочисленные экспериментальные наблюдения за поведени­ем деформируемых тел показывают, что в определенных диапазо­нах перемещения точек тела пропорциональны действующим на него нагрузкам. Впервые указанная закономерность была высказана в 1776 году английским ученым Р.Гуком и носит название закона Гука.

В соответствии с этим законом перемещение произвольно взя­той точки А (рис. 1.8, а) нагруженного тела по некоторому направ­лению, например, по оси x, а может быть выражено следующим образом:

, (1.11)

где Р - сила, под действием которой происходит перемещение u; - коэффициент пропорциональности между силой и перемеще­нием.

Очевидно, что коэффициент зависит от физико-механиче­ских свойств материала, взаимного расположения точки А и точки приложения и направления силы Р, а также от геометрических особенностей си­стемы. Таким образом, последнее выражение следует рассматривать как закон Гука для данной системы.

В современной трактовке закон Гука определяет линейную за­висимость между напряжениями и деформациями, а не между си­лой и перемещением.

, (1.12)

. (1.13)

Параметры и , входящие в эти формулы, называют модулями упругости материала соответственно первого и второго рода. Они характеризуют его сопротивляемость деформированию, или жесткость в упругой стадии деформации. Численные значения и для каждого конструктивного материала определяются экспериментально. Они имеют размерности напряжений. На практике удобно использовать единицы, кратные паскалю: мегапаскаль (1 МПа=10⁶ Па) и гигапаскаль (1 ГПа=10⁹ Па).

Системы, для которых соблюдается условие пропорционально­сти между напряжениями и деформациями, подчиняются принципу суперпозиции, или принципу независимости действия сил.

В соответствии с этим принципом перемещения и внутренние силы, возникающие в упругом теле, считаются независящими от порядка приложения внешних сил. То есть, если к системе прило­жено несколько сил, то можно определить внутренние силы, на­пряжения, перемещения и деформации от каждой силы в отдель­ности, а затем результат действия всех сил получить как сумму действий каждой силы в отдельности. Принцип независимости действия сил является одним из основных способов при решении большинства задач механики линейных систем.

22. Диаграмма напряжений. Механические характеристики материалов.

2) предел упругости - максимальная величина механического напряжения, при которой деформация данного материала остаётся упругой, то есть полностью исчезает после снятия нагрузки.

3) предел текучести – напряжение при котором происходит рост деформации без заметного увеличения нагрузки.

5) предел прочности – отношение максимальной силы, которую способен выдержать образец, его начального поперечного сечения.

7) предел пропорциональности- максимальная величина напряжения, при котором ещё выполняется закон Гука, то есть деформация тела прямо пропорциональна приложенной нагрузке (силе)

23.Плоский поперечный изгиб. Метод определения внутреннмих силовых факторов. Правило законов.

Если в поперечных сечениях бруса кроме изгибающего момента действует так же поперечная сила – изгиб называется поперечным. Втаком случае в поперечных сечениях возникает не только нормальное но и касательное напряжение.

Так как касательные напряжения в общем случае распределены по сечению неравномерно, то при поперечном изгибе поперечные сечения балки, строго говоря, не остаются плоскими. Однако при (где h - высота поперечного сечения, l - длина балки) ока­зывается, что эти искажения заметным образом не сказываются на работе балки на изгиб. В данном случае гипотеза плос­ких сечений и в случае чистого изгиба с достаточной точно­стью приемлема. Поэтому для расчета нормальных напряже­ний применяют ту же формулу (5

. Полученная формула носит имя русского ученого Д.И. Журавского.

Условие прочности по касательным напряжениям:

,

Дата добавления: 2015-04-24