Типовой пример 1 страница

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Важным направлением развития межрегиональных сопоставлений выступает построение интегральных показателей уровня жизни населения. Программой развития ООН разработан интегральный показатель – Индекс развития Человеческого Потенциала (ИРЧП). Данный показатель включает три компоненты уровня жизни: долголетие, образование, доход.

В таблице 1 представлены статистические данные (N=100), характеризующие компоненты ИРЧП по областям и краям Российской Федерации. X – материальный доход за месяц в условных единицах, Y – продолжительность жизни.

Таблица 1

Статистические данные типового примера

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N
X
Y

Сравнение индексов долголетия, образованности и уровня жизни на внутрироссийском уровне даёт возможность уточнить приоритетность соответствующих в стране программ человеческого развития, а также определить желательные масштабы их финансирования на национальном и региональном уровнях. Для этого требуется провести анализ данных Таблицы 1:

1. Построить эмпирическую функцию распределения, полигон и гистограмму для случайной величины Х;

2. Построить точечные и интервальные оценки для математического ожидания и дисперсии генеральной совокупности Х;

3. Сделать статистическую проверку гипотезы о нормальном законе распределения случайной величины Х;

4. Составить корреляционную таблицу по сгруппированным данным;

5. Найти линейную корреляционную модель зависимости дохода (Х) от фактора долголетия (Y);

6. Оценить тесноту корреляционной связи;

7. Оценить степень близости модели к статистическим данным;

8. Вычислить прогнозные значения фактора Х и точность прогноза для значений фактора, равных и .

Решение.

Составим ранжированный ряд для случайной величины Х.

Таблица 2

Ранжированный ряд случайной величины Х

N

X

Y

Продолжение таблицы 2

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

Y

N

X

N
X
Y

Для удобства расчётов составим новую Таблицу 3, в которой отразим частоты появления случайных величин и относительные частоты .

Таблица 3

Дискретный вариационный ряд

В данном примере случайная величина Х распределена с шагом h=5.

Рассчитаем эмпирическую функцию распределения в виде «нарастающей относительной частоты» (Таблица 4).

Таблица 4

Расчёт эмпирической функции распределения

220
225<	+
230<
235<

Построим эмпирическую функцию распределения рис.1

Рис.1

Экспериментальные данные, представленные в виде вариационного ряда можно представить графически в виде ломаной линии (полигона), связывающей на плоскости точки с координатами (), где - относительная частота (рис. 2). На этом же рисунке отобразим пунктирной линией выравнивающие (теоретические частоты) частоты.

Рис.2

Предположим, что случайная величина Х распределена нормально, тогда выравнивающие частоты могут быть найдены по формуле:

, (57)

где n – число испытаний,

h – длина частичного интервала,

- выборочное среднее квадратическое отклонение,

( - середина -го частичного интервала),

. (58)

Результаты вычислений отобразим в Таблице 5.

Таблица 5

Расчёт выравнивающих частот

	-11,7 -6,7 -1,7 3,3 8,3	-2,18 -1,25 -0,32 0,62 1,55	0,04 0,18 0,38 0,33 0,12	3,74 16,82 35,51 30,84 11,22		0,04 0,17 0,36 0,31 0,12

Сравнение графиков наглядно показывает близость выравнивающих частот к наблюдаемым и подтверждает правильность допущения о том, что обследуемый признак распределён нормально.

2) Найдём числовые характеристики вариационного ряда, используя Таблицу 3.

Средняя арифметическая (9):

Средняя гармоническая (10):

Средняя квадратическая (11):

Средняя геометрическая (12):

Сделаем проверку по формуле (13):

Выборочная дисперсия (14):

Среднее квадратическое отклонение (15):

Выборочная мода:

Выборочная медиана:

Коэффициент вариации (16):

Размах варьирования (17):

R=240-220=20

Среднее абсолютное отклонение (18):

«Исправленные» дисперсия и среднеквадратическое отклонение (19):

, .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95 найдём по формуле (21). Из соотношения находим значение функции Лапласа: . По таблице значений функции Лапласа (Приложение 4) находим z=1,96. Таким образом,

230,65<a<232,75

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения случайной величины находим по формуле (22). На основании данных значений и n=100 по таблице (Приложение 5) находим значение q=0,143. Таким образом,

4,71<

Моменты k-го порядка (23):

Асимметрия (24):

Оценка степени существенности (25):

отношение <3, значит асимметрия не существенна.

Эксцесс (26):

3)Проведём статистическую проверку гипотезы о нормальном распределении. Нормальный закон распределения имеет два параметра (r=2): математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.

Для расчёта теоретических частот воспользуемся табличными значениями функции Лапласа Алгоритм вычисления состоит в следующем:

- по нормированным значениям случайной величины Z находим значения , а затем :

=0,5+ .

Например,

; ; ;

;

- находим ;

- находим и если некоторое то соответствующие группы объединяются с соседними.

Результаты вычисления и приведены в таблице №6.

По формуле

(59)

можно сделать проверку расчётов.

По таблице Приложения 6 находим по схеме: для уровня значимости 0,05 и числа степеней свободы =6,0. Следовательно, критическая область – (6; ). Величина =44,21 входит в критическую область, поэтому гипотеза о том, что случайная величина Х подчинена нормальному закону распределения отвергается.

При =4,61. Критическая область – (4,61; ). Величина =44,21 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

При =9,2. Критическая область – (9,2; ).

Величина =44,21 также входит в критическую область и гипотеза о нормальном законе распределения величины Х отвергается.

Таблица 6

Определение

i
			-0,485	0,015	0,106	0,091	9,1	2,86
			-0,394	0,106	0,375	0,269	26,9	6,17
			-0,126	0,375	0,729	0,355	35,5	3,13
			0,229	0,729	0,938	0,209	20,9	1,15
			0,438	0,938	1,0	0,062	6,2	30,9

Данные Таблицы 2 сгруппируем в корреляционную Таблицу 7.

Таблица 7

Корреляционная таблица

Y\X
			-	-	-
	-			-	-
	-	-
	-	-
	-	-	-
						100

Дата добавления: 2015-04-24