Интегрирование рациональных функций от тригонометрических функций

Лекция 4. Интегрирование иррациональных и тригонометрических функций.

Метод Остроградского.

Если знаменатель рациональной дроби содержит пары комплексно сопряженных корней большой кратности, то удобно применять метод Остроградского. Он состоит в следующем: вычисляют . Затем интеграл представляют в виде

, где степень на единицу меньше степени , а степень на единицу меньше степени . Коэффициенты полиномов , определяются при дифференцировании левой и правой частей и приравнивания коэффициентов при равных степенях x.

a) , где R() – рациональная функция своих аргументов.

Такие интегралы всегда можно взять универсальной тригонометрической подстановкой (лекция 1)

b) .

А) Если нечетна по sin x, то делают подстановку t = cos x.

Б) Если нечетна по cos x, то делают подстановку t = sin x.

В) Если не меняет знака при изменении знака sin x или cos x, то делают подстановку t = tg x.

Пример. . Здесь мы имеем случай В). Подстановкой этот интеграл сводится к интегралу .

3. Интегралы

сводятся к табличным интегралам от синуса и косинуса, если преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму по формулам

Пример.

- Интегралы вида

4. Если m или n – нечетное положительное число, то sin x или cos x вносят под дифференциал.

Пример.

5. Если m, n – четные положительные числа, то применяют формулы удвоения аргумента

Пример.

6. , где m – целое положительное число, берутся с использованием формул .

Пример.

= -

7. В общем случае интегралы вида вычисляются по рекуррентным формулам с использованием основного тригонометрического тождества.

Пример.

= .

Дата добавления: 2015-04-24