Решения

Уравнений 1 порядка, изоклины. Особые точки и особые

Рассмотрим интегральные кривые дифференциального уравнения 1 порядка . В любой точке плоскости OXY правая часть дифференциального уравнения известна, ее можно вычислить. Поэтому в любой точке плоскости известна и левая часть. Левая часть, исходя из геометрического смысла производной, задает тангенс угла наклона касательной к интегральной кривой.

Следовательно, в любой точке плоскости можно определить угол наклона (к оси OX) касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку, т.е. определить направление вектора касательной к интегральной криво й.

Если в некоторой области плоскости задана вектор-функция, то говорят, что она задает в этой области векторное поле.

Поэтому геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка состоит в том, что оно задает в области определения G (x, y) функции f(x, y) векторное поле направлений векторов касательных к интегральным кривым. Если интерпретировать дифференциальное уравнение механически, как скорость f(x, y) движения точки по траектории – интегральной кривой, то дифференциальное уравнение задает поле скоростей.

Изоклинами называются кривые в плоскости OXY, в каждой точке которой угол наклона к оси OX касательной к интегральной кривой один и тот же . Уравнение изоклины: .

Строя изоклины как можно чаще, можно достаточно точно построить интегральные кривые, нанося на каждой изоклине соответствующее ей направление вектора касательной к интегральной кривой..

Пример.

Уравнение изоклины

		Уравнение изоклины
		x=0 (ось OY)
		y = - x
-1		y = x
		y = 0 (ось OX)

Можно предположить, что уравнение интегральной кривой (это легко проверить: ).

Таким образом, интегральные кривые – окружности с центром в начале координат.

Дата добавления: 2015-04-24