КАТЕГОРИИ: Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748) |
Лекция 14. Дифференциальные уравнения высших порядковУравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной. Рассмотрим два типа уравнений 1) . Метод введения параметра. Обозначим В случае 1) , . Найдем решение , подставим в , получим - общее решение. В случае 2) Найдем решение , подставим в , получим - общее решение.
Уравнение Лагранжа. Дифференцируем: , - линейное уравнение. Отыскиваем и, подставляя в уравнение Лагранжа, находим . Пример. - уравнение Лагранжа. , - линейное уравнение по . Решаем его методом подстановки .
Уравнение Клеро. . Уравнение Лагранжа превращается в уравнение Клеро, если в уравнении Лагранжа положить . Дифференцируем обе части: . 1) - общее решение. 2) . Подставляя в уравнение, получим особое решение
Пример. 1. - общее решение 2. - особое решение.
Дифференциальное уравнение n – ого порядка в общем виде записывается так: . Дифференциальное уравнение n – ого порядка в виде, разрешенном относительно старшей производной, выглядит так: . Решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , обращающая его в тождество. Общим решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция такая, что 1. при любом наборе констант эта функция является решением, 2. для любого набора начальных условий из области существования решения найдется набор констант , при котором функция удовлетворяет заданным начальным условиям, т.е. . Заметим, что общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка зависит ровно от n констант. Частным решением дифференциального уравнения n – ого порядка называется какое-либо из решений, входящих в общее решение (при конкретном выборе констант). Общим интегралом дифференциального уравнения n – ого порядка называется функция , сохраняющая свои значения на решениях дифференциального уравнения. Интегральной кривой называется график частного решения. Общее решение представляет собой совокупность интегральных кривых.
Обычно рассматривается одна из трех задач: 1. Найти общее решение дифференциального уравнения n – ого порядка, 2. Задача Коши – найти частное решение дифференциального уравнения n – ого порядка, удовлетворяющее заданным начальным условиям, 3. Краевая задача – найти частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям, одна часть которых задана в точке , а другая часть в точке . Теорема Коши (существования и единственности решения задачи Коши для дифференциального уравнения n – ого порядка ). Пусть функция и ее частные производные по переменным определены и непрерывны в некоторой области . Тогда для любой внутренней точки существует единственное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее этим начальным условиям, т.е. (через любую внутреннюю точку проходит единственная интегральная кривая).
Пример. Рассмотрим дифференциальное уравнение второго порядка . Область существования и единственности решения заполнена непересекающимися интегральными кривыми. Через любую точку проходит единственная интегральная кривая. Однако через «точку» проходит бесконечно много интегральных кривых, все они различаются значениями . Заметим, что в «точка» представляет собой прямую .
Понижение порядка дифференциальных уравнений.
Мы умеем аналитически решать всего пять типов дифференциальных уравнений первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. Причем однородные, линейные и Бернулли тоже сводятся к уравнениям с разделяющимися переменными. Даже решить уравнение второго порядка, не говоря уж об уравнении n-го порядка – проблема. Поэтому стараются понизить порядок дифференциального уравнения, если это возможно, чтобы свести его к известным типам уравнений первого порядка. Если правая часть дифференциального уравнения n-го порядка зависит только от x, то интегрируя его n раз, можно получить решение. . Но это – очевидный случай. Рассмотрим менее очевидные случаи.
Дата добавления: 2015-04-24; Просмотров: 569; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы! Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет |