Пример 6.6

В качестве следующего примера рассмотрим механическое устройство, которое представляет собой жёсткий вал на 3 опорах, обладающих свойствами упругости и демпфирования (рис.6.29). Такое устройство может служить прототипом шпинделя металлорежущего станка, установленного на 3 подшипниках.

Рис. 6.29

В рассматриваемом примере вал длинной 2 l под действием внешней силы P и сил реакций Т₁, Т₂, Т₃ в опорах совершает сложные колебания, которые можно представить как сумму поступательных движений вала параллельно самому себе и вращательных движений вала, совершаемых вокруг его центра масс. Внутренние силы Т₁, Т₂, Т₃ в опорах зависят от значений коэффициентов податливости g₁, g₂, g₃ и коэффициентов демпфирования h₁, h₂, h₃ опор.

Составим уравнение равновесия сил:

(6.13)

где

Составим уравнение равновесия моментов:

M_T1+ M_T2 - M_T3 - M_u = 0, (6.14)

где M_Т1 = T₁ × l; M_Т2 = T₂ × l /2; M_Т3 = T₃ × l.

На основании данных уравнений составляем эквивалентную электрическую схему (рис. 6.30).

Рис. 6.30

Электрическая схема содержит 5 контуров, 3 узла и 3 трансформатора. Уравнения Кирхгофа для контуров 1-5 совпадают с уравнениями равновесия сил и с уравнениями равновесия моментов (6.13-6.14). Записываем уравнения Кирхгофа для узлов 1, 2 и 3.

Записываем уравнения трансформаторов.

В данной математической модели соотношения для скоростей изменений токов, протекающих через обмотки трансформаторов, не используются. Поэтому в уравнениях трансформаторов этих соотношений нет.

Рис. 6.31

Рассматриваемое твердое тело имеет две степени свободы, так как оно может совершать прямолинейное и одновременно вращательное движения. Поэтому чтобы построить сеть связей динамической системы, необходимо в двух уравнениях Кирхгофа для контуров вынести вправо инерционные составляющие. Такими уравнениями являются уравнения (6.13) и (6.14). Используя дополнительно уравнения Кирхгофа для узлов 1–3, а также уравнения трансформаторов, строим сеть связей динамической системы (рис.6.31).

Таблица 6.9

Передаточные функции элементарных звеньев

Теперь можно построить структурную схему динамической системы. С этой целью каждую ветвь сети связей заменяем элементарным звеном. Передаточные функции элементарных звеньев приведены в табл. 6.9, а структурная схема на рис. 6.32.

Рис. 6.32

В соответствии со структурной схемой записываем уравнения связей и дифференциальные уравнения элементарных звеньев.

На рис.6.33 представлена программа моделирования рассмотренного механического объекта в математической среде MathCAD.

Вал на трех опорах

Рис. 6.33. Код программы моделирования в системе MathCAD

Рис. 6.33 а. График процесса при h1=h2=h3=10.

Результаты моделирования представлены в виде графиков линейных (рис. 6.34, а)

Рис.6.34

и угловых (рис. 6.34, б) скоростей движений объекта при отсутствии демпфирования. На рис. 6.34, в показано движение объекта, когда коэффициенты демпфирования не равны нулю.

Дата добавления: 2015-04-24