Уравнение затухающих колебаний

Затухающие колебания

В любой реальной колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действие которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие свободные колебания называют затухающими.

Будем исходить из основного уравнения динамики, полагая, что на частицу массы m действует кроме квазиупругой силы сила сопротивления, пропорциональная скорости частицы, , где r — коэффициент сопротивления (величина размерная). Тогда уравнение движения будет иметь вид

, (26)

или

, (27)

где . Отметим, что w₀ — это частота свободных колебаний без трения. Частоту w₀ называют собственной частотой осциллятора, а b — коэффициентом затухания.

Уравнение (27) при условии b < w₀ описывает затухающие колебания. Его решение имеет вид

(28)

где а ₀ и a — постоянные, определяемые начальными условиями x (0) = x ₀ и — частота затухающих колебаний:

(29)

График функции (28) показан на рис.13 для случая x ₀ > 0 и > 0. Видно, что эта функция не периодическая. Тем не менее, величину принято называть периодом затухающих колебаний:

. (30)

Множитель перед косинусом в (28) называют амплитудой затухающих колебаний (пунктир на рис. 13).

Рис.13

Дата добавления: 2015-04-24