Матричным методом

Решение невырожденных линейных систем

Ранг системы r равен максимальному числу линейно независимых уравнений системы.

Замечание 2. Если , то системанесовместна.

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными, т. е. квадратная система

,

или в матричной форме А×Х=В.

Основная матрица А такой системы квадратная. Определитель этой матрицы

называется определителем системы.

Если определитель системы отличен от нуля, то система называется невырожденной.

Найдем решение данной системы уравнений в случае . Умножив обе части уравнения А×Х=В слева на матрицу А^-1, получим А^-1×А×Х=А^-1×В. Поскольку А^-1×А=Е и Е×Х=Х, то справедливо равенство

Х=А^-1×В.

Отыскание решения системы по приведенной формуле называют матричным способом решения системы.

Пример. Решить систему уравнений:

Решение. По условию задачи

Х = ; B = ; A = .

Найдем обратную матрицу А^-1.

D= 5×(4–9) + 1×(2 – 12) – 1×(3 – 8) = –25 – 10 + 5 = –30.

А₁₁= = –5; А₂₁= ; А₃₁= =–1;

А₁₂= А₂₂= А₃₂=

А₁₃= А₂₃= А₃₃=

A^-1= .

Найдем решение системы.

Х = = А^-1×В = × =

.

Дата добавления: 2015-04-24