Решение системы находим по формулам Крамера

Пермь 2007

Задание к работе

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

2. Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы.

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений.

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений.

5. При каких значениях система уравнений имеет нетривиальные (ненулевые) решения? Найти эти решения.

Образец решения варианта.

1. Методом Крамера найти решение системы линейных алгебраических уравнений

.

Решение.

.

Вычислим определитель системы

.

Последовательно заменив в , первый, второй и третий столбцы столбцом свободных членов, получим соответственно

;

;

.

Ответ: .

2. Дана система из трех уравнений с тремя неизвестными. Установить, что система уравнений имеет единственное решение и найти его с помощью обратной матрицы

.

Решение.

Если определитель системы отличен от нуля, то система имеет единственное решение (теорема Крамера).

Вычислим определитель данной системы:

,

следовательно, система имеет единственное решение.

Данную систему можно записать в матричной форме:

, где , , .

Так как , то для матрицы существует обратная матрица . Умножив матричное уравнение слева на , получим , откуда , или .

Найдем обратную матрицу по формуле

,

где алгебраическое дополнение элемента .

,

,

.

.

Тогда

.

Ответ: .

3. Методом Гаусса (или методом исключения неизвестных) найти решение системы линейных алгебраических уравнений

.

Решение.

Выпишем расширенную матрицу данной системы и приведем ее к ступенчатому виду

.

Последовательно умножим первую строку на (–2) и прибавим ее ко второй строке, затем умножим на (–3) и прибавим к третьей строке, умножим на (–2) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Ко второй строке полученной матрицы прибавим третью строку, умноженную на , затем во вновь полученной матрице умножим третью строку на , четвертую – на (–1), затем последовательно умножим вторую строку на 2 и прибавим ее к третьей строке, умножим на 7 и прибавим к четвертой строке, получим

.

Третью строку полученной матрицы умножим на , четвертую – на , затем третью строку умножим на (–1) и прибавим к четвертой строке, получим

.

Найденная матрица имеет треугольный вид; по этой матрице запишем систему уравнений, эквивалентную исходной системе,

.

Последовательно находим неизвестные, начиная с последнего уравнения, ; подставим в третье уравнение найденное , вычислим , ; затем из второго уравнения находим , ; из первого уравнения получим , .

Ответ: .

4. Найти общее решение однородной системы линейных алгебраических уравнений .

Решение.

Элементарными преобразованиями строк приведем матрицу системы к эквивалентной матрице , которой соответствует уравнение , эквивалентное исходной системе. Таким образом, общее решение может быть записано в форме , или , . Решений бесчисленное множество – любая пара, связанная указанной зависимостью, обращает левые части уравнений данной системы в нуль. В системе - число неизвестных и число уравнений. , матрица системы, расширенная матрица системы. В силу теоремы Кронекера-Капелли система имеет бесчисленное множество решений, зависящих от одного параметра . Иногда общее решение удобнее использовать в форме

.

5. При каких значениях система

имеет нетривиальные (ненулевые) решения? Найти эти решения.

Решение.

Однородная система линейных уравнений имеет ненулевые решения, когда ее определитель равен нулю. Из этого условия и найдем соответствующие значения :

.

Найдем теперь соответствующие решения.

1) При система имеет вид:

.

Определитель этой системы равен нулю. Это означает наличие линейной зависимости между уравнениями системы. Замечаем, что первое уравнение получается из второго и поэтому его можно отбросить. Имеем

.

Так как определитель из коэффициентов при неизвестных не равен нулю, то в качестве базисных неизвестных возьмем (хотя можно брать и другие пары неизвестных) и перенесем члены с в правые части уравнений:

.

Полученную систему можно решить по формулам Крамера:

где , , .

Тогда , . Полагая , где произвольное действительное число, получаем решение системы: , , .

2) При система имеет вид:

.

Можно решить эту систему и методом Гаусса. Составим расширенную матрицу полученной системы:

и приведем ее к матрице ступенчатого вида:

.

Восстановим систему для полученной матрицы

.

Полагая , где произвольное действительное число, получаем решение системы: .

Ответ: При система имеет нетривиальные решения: , , , . При система имеет нетривиальные решения: , .

Индивидуальные задания

Вариант 1

1.1 1.2

1.3 1.4 1.5

Вариант 2

2.1 2.2

2.3 2.4 2.5

Вариант 3

3.1 3.2

3.3 3.4 3.5

Вариант 4

4.1 4.2

4.3 4.4 4.5

Вариант 5

5.1 5.2

5.3 5.4 5. 5

Вариант 6

6.1 6.2

6.3 6.4 6.5

Вариант 7

7.1 7.2

7.3 7.4 7.5

Вариант 8

8.1 8.2

8.3 8.4 8.5

Вариант 9

9.1 9.2

9.3 9.4 9.5

Вариант 10

10.1 10.2

10.3 10.4 10.5

Вариант 11

11.1 11.2

11.3 11.4 11.5

Вариант 12

12.1 12.2

12.3 12.4 12.5

Вариант 13

13.1 13.2

13.3 13.4 13.5

Вариант 14

14.1 14.2

14.3 14.4 14.5

Вариант 15

15.1 15.2

15.3 15.4 15.5

Вариант 16

16.1 16.2

16.3 16.4 16.5

Вариант 17

17.1 17.2

17.3 17.4 17.5

Вариант 18

18.1 18.2

18.3 18.4 18.5

Вариант 19

19.1 19.2

19.3 19.4 19.5

Вариант 20

20.1 20.2

20.3 20.4 20.5

Вариант 21

21.1 21.2

21.3 21.4 21.5

Вариант 22

22.1 22.2

22.3 22.4 22.5

Вариант 23

23.1 23.2

23.3 23.4 23.5

Вариант 24

24.1 24.2

24.3 24.4 24.5

Вариант 25

25.1 25.2

25.3 25.4 25.5

Вариант 26

26.1 26.2

26.3 26.4 26.5

Вариант 27

27.1 27.2

27.3 27.4 27.5

Вариант 28

28.1 28.2

28.3 28.4 28.5

Вариант 29

29.1 29. 2

29.3 29.4 29.5

Вариант 30

30.1 30.2

30.3 30.4 30.5 .

Дата добавления: 2015-04-24