Симметричные системы

Полная замена неизвестных

ПРИМЕР

Решим следующую систему .

Решение

Заменим две неизвестные х и у на две другие неизвестные u и v по формулам:

.

Тогда данная система относительно х,у преобразуется к равносильной системе относительно неизвестных u,v:

теперь выполняем обратную замену неизвестных:

.

Проверка:

Ответ: .

Симметричными называются системы, в которых есть симметрия по неизвестным х и у, то есть система не изменяется, если в ней х заменить на у, а у заменить на х.

Для таких систем рекомендуется специальная замена неизвестных:

.

ПРИМЕР

Решим систему уравнений .

Решение

Данная система является симметричной по х и у, так как при замене х на у, а у на х ни первое, ни второе уравнения системы не изменяются. Используем рекомендуемую замену:

.

Тогда в данной системе происходит полная замена неизвестных и получается система, равносильная данной, относительно неизвестных u,v:

Система имеет два решения.

Проверка:

Заметим, что решения симметричных систем тоже являются симметричными.

Ответ: , .

Дата добавления: 2015-04-24