Введение вспомогательной неизвестной (частичная замена неизвестных)

Преобразование системы с целью получить линейное уравнение.

Исключение одной неизвестной в простейшем случае, когда в системе есть линейное уравнение

ПРИМЕР

Решим систему .

Решение

;

решаем второе уравнение относительно у:

;

продолжаем решать систему с найденными значениями у:

система .

Система имеет два решения, которые подтвердим проверкой.

Проверка:

так как каждое из двух найденных решений удовлетворяет всем уравнениям данной системы, то эти решения являются правильными.

Ответ: , .

ПРИМЕР

Решим систему .

Решение

Получим линейное уравнение алгебраическим сложением уравнений данной системы:

Теперь заменяем в исходной системе одно из уравнений на совокупность полученных двух линейных уравнений и далее заменяем систему на совокупность двух систем, в каждой из которых исключаем одну неизвестную способом подстановки:

Система имеет четыре решения, которые подтверждаем проверкой, подставив каждое решение в оба уравнения исходной системы.

Проверка:

Ответ: , , , .

ПРИМЕР

Решим систему уравнений

Решение

Введём в первом уравнении вспомогательную неизвестную , учитывая далее, что ; тогда в первом уравнении все слагаемые можно выразить через :

;

первое уравнение системы преобразуется к виду квадратного уравнения только относительно с ограничением на неизвестную:

.

Таким образом вычислено, что , и для этого вычисления использовано первое уравнение. Поэтому исходная система равносильна системе, в которой первое уравнение заменено на равенство , а второе уравнение оставлено прежним:

Выйдем теперь из системы с уравнением относительно у:

.

Возвращаемся в систему:

.

Проверка:

– эта пара удовлетворяет исходной системе, так как в систему входит только .

Ответ: , .

Дата добавления: 2015-04-24