Лекция №5

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

1. Однородные и неоднородные СЛАУ

2. Существование и единственность решения СЛАУ

3. Структура общего решения.

Однородные и неоднородные СЛАУ

Исследование линейной зависимости векторов сводится к решению систем линейных уравнений (СЛАУ)

Пусть дана система векторов и вектор . Требуется установить, является ли вектор линейной комбинацией данной системы векторов, и найти коэффициенты линейной комбинации.

Если является линейной комбинацией векторов , то существуют такие числа , что выполняется равенство:

(1)

Следовательно поставленная задача сводится к исследованию векторного уравнения (1) относительно чисел .

Пусть векторы a_i заданны своими коэффициентами в базисе , то есть

(2)

Прировняв соответствующие координаты векторов левой и правой частей уравнения (1), получим

(3)

Эта система уравнений отражает координатную зависимость уравнения (1) и называется системой линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Числа называются правыми частями (свободные члены). – неизвестными системы уравнений. Упорядоченная совокупность значений неизвестных, удовлетворяющая каждому из уравнений (3), называется решением системы.

Если система ЛАУ имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной, а в противном случае – несовместной.

Таким образом, выявление линейной зависимости вектора от вектора , определяется совместностью или несовместностью системы (3).

Если система совместна, то любое её решение даёт коэффициенты разложения вектора по системе векторов .

Две системы ЛАУ относительно одних и тех же неизвестных называются эквивалентными, если каждое решение одной системы является решением другой системы или обе они не совместны.

Линейное уравнение вида:

называют однородным, если в нём . соответственно СЛАУ называют также однородной, если все её свободные члены равны нулю:

(4)

Однородная система всегда совместна, так как она имеет следующие очевидное решение:

.

Это решение называется нулевым или тривиальным в случае если значения хотя бы одного неизвестного отлично от нуля, то решение называется нетривиальным.

Совместная система ЛАУ называется определённой, если она имеет единственное решение, и неопределённой, если число решений 2 и более.

В матричной форме СЛАУ можно заменить одним эквивалентным ей матричным уравнением:

(5)

в котором матрицы A, Z, B, определяются соотношением:

, , .

Решение матричного уравнения (5) заключается в отыскании такого столбца , который при заданной матрице и заданном столбце обращает уравнение (5) в тождество.

2) Существование и единственность решения СЛАУ

Однородная система ЛАУ может иметь и нетривиальное решение. Существование нетривиального решения система линейных алгебраических уравнений эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы коэффициентов A, поскольку линейная зависимость предполагает существование чисел , которые не все равны нулю и такие, что справедливы равенства:

(6)

Теорема 1 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

В силу данной теоремы линейная зависимость столбцов матрицы , будет иметь место только тогда, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, то есть когда порядок r базисного минора меньше числа её столбцов.

Теорема 2 Однородная система ЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы меньше числа её столбцов.

Следствие Квадратная однородная система ЛАУ имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю.

То есть при ранг матрицы будет меньше числа тогда и только тогда, когда .

В общем случае существование решения неоднородной СЛАУ определяется теоремой Кронекера-Капели (теорема 3).

Теорема 3 Для того, что бы линейная система ЛАУ являлось совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.

На вопрос о единственности решения СЛАУ может помочь найти ответ теорема о числе решений (теорема 4).

Теорема 4 Пусть для системы m линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности, то есть ранг матрицы коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных (), то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторым неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определится уже единственным образом.

Структура общего решения

Поскольку СЛАУ можно записать в матричной форме (5), то путём применения операций над век торами, вектор – столбец неизвестных Z можно определить из выражения:

, (7)

где – обратная матрица.

После преобразований, решение СЛАУ при использовании матричного метода может быть найдено из соотношений:

(8)

или:

, ,

Данное решение СЛАУ называется методом Крамера.

Практическое использование этого метода связано с громоздкими вычислениями (для решения системы уравнений с неизвестными приходится вычислить определитель -го порядка). Кроме того, если коэффициент уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближённые каких-либо измеримых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам, а иногда бывает нецелесообразным.

Пример. Найдём решение СЛАУ:

1) ; ; ; ; .

Система неоднородна, СЛАУ совместна; так как , то СЛАУ имеет единственное решение .

Дата добавления: 2015-04-24