Студопедия

КАТЕГОРИИ:


Архитектура-(3434)Астрономия-(809)Биология-(7483)Биотехнологии-(1457)Военное дело-(14632)Высокие технологии-(1363)География-(913)Геология-(1438)Государство-(451)Демография-(1065)Дом-(47672)Журналистика и СМИ-(912)Изобретательство-(14524)Иностранные языки-(4268)Информатика-(17799)Искусство-(1338)История-(13644)Компьютеры-(11121)Косметика-(55)Кулинария-(373)Культура-(8427)Лингвистика-(374)Литература-(1642)Маркетинг-(23702)Математика-(16968)Машиностроение-(1700)Медицина-(12668)Менеджмент-(24684)Механика-(15423)Науковедение-(506)Образование-(11852)Охрана труда-(3308)Педагогика-(5571)Полиграфия-(1312)Политика-(7869)Право-(5454)Приборостроение-(1369)Программирование-(2801)Производство-(97182)Промышленность-(8706)Психология-(18388)Религия-(3217)Связь-(10668)Сельское хозяйство-(299)Социология-(6455)Спорт-(42831)Строительство-(4793)Торговля-(5050)Транспорт-(2929)Туризм-(1568)Физика-(3942)Философия-(17015)Финансы-(26596)Химия-(22929)Экология-(12095)Экономика-(9961)Электроника-(8441)Электротехника-(4623)Энергетика-(12629)Юриспруденция-(1492)Ядерная техника-(1748)

Метод хорд




Метод хорд [7] заключается в замене кривой y = f (x) отрезком прямой, проходящей через точки (a, f (a)) и (b, f (b)) (см. рис. 2.6). Абсцисса точки пересечения прямой с осью OX принимается за очередное приближение.

Чтобы получить расчетную формулу метода хорд, запишем уравнение прямой, проходящей через точки (a, f (a)) и (b, f (b)) и, приравнивая y нулю, найдем x:

.

 


Рис.2.6. Метод хорд

 

Алгоритм метода хорд:

1) Пусть k = 0;

2) Вычислим следующий номер итерации: k = k + 1; Найдем очередное k -ое приближение по формуле: xk = a – f (a)(ba)/(f (b) – f (a)); Вычислим f (xk).

3) Если f (xk)= 0 (корень найден), то переходим к 5).

Если f (xk) f (b) > 0, то b = xk, иначе a = xk.

4) Если | xkxk -1| > ε, то переходим к шагу 2);

5) Выводим значение корня xk.

6) Конец.

 

Замечание. Действия третьего пункта аналогичны действиям метода половинного деления. Однако в методе хорд на каждом шаге может сдвигаться один и тот же конец отрезка (правый или левый), если график функции в окрестности корня выпуклый вверх (рис. 2.6, a)) или вогнутый вниз (рис. 2.6, b)). Поэтому в критерии сходимости используется разность соседних приближений.

Пример 2.6. Применим метод хорд к уравнению sin 5 x + x 2 – 1 = 0 и отрезку [0,2; 0,3] для определения корня с точностью до ε = 0,001.

Решение. Проведем расчеты в программе Excel:

1) В ячейки A1:H1 запишем заголовки столбцов как в табл. 2.6;

2) В ячейку B3 запишем формулу =ЕСЛИ(C2*E2<0;B2;D2) и затем ячейку B3 протянем маркером заполнения до ячейки B10;

3) В ячейку C2 запишем формулу =SIN(5*B2)+B2^2-1 и затем ячейку C2 протянем маркером заполнения до ячейки C10;

4) В ячейку D2 запишем формулу =B2-C2*(F2-B2)/(G2-C2) и затем ячейку D2 протянем маркером заполнения до ячейки D10;

5) В ячейку E2 запишем формулу =SIN(5*D2)+D2^2-1 и затем ячейку E2 протянем маркером заполнения до ячейки E10;

6) В ячейку F3 запишем формулу =ЕСЛИ(C2*E2<0;D2;F2) и затем ячейку F3 протянем маркером заполнения до ячейки F10;

7) В ячейку G2 запишем формулу =SIN(5*F2)+F2^2-1 и затем ячейку G2 протянем маркером заполнения до ячейки G10;

8) В ячейку H2 запишем формулу =ABS(F2-B2) и затем ячейку H2 протянем маркером заполнения до ячейки H10;

В таблице 2.8 приведены результаты. Необходимая точность достигается на шаге k = 4.

Таблица 2.8

  A B C D E F G H
  k a f(a) x f(x) b f(b) |b-a|
    0,2 -0,11853 0,25753165 0,026506 0,3 0,0874949 0,1
    0,2 -0,11853 0,24701739 0,005194 0,25753165 0,026506 0,01051
    0,2 -0,11853 0,24504339 0,000926 0,24701739 0,0051944 0,00197
    0,2 -0,11853 0,24469436 0,000162 0,2450434 0,0009256 0,00035

 

Решение в программе Mathcad:

 

 

Как видим, результаты расчетов согласуются с предыдущими ответами.

Приведем программу, которая реализует метод хорд на языке C ++:

 

#include <iostream.h>

#include <math.h>

double f(double x);

typedef double (*PF)(double);

double hord(PF f,double a, double b,double eps, int Kmax);

int main(){

double a, b, x, eps;PF pf; int Kmax;

cout << "\n a = "; cin >> a;

cout << "\n b = "; cin >> b;

cout << "\n eps = "; cin >> eps;

cout << "\n Kmax = "; cin >> Kmax;

pf = f;

x = hord(pf,a,b,eps, Kmax); cout << "\n x = " << x;

cout << "\n Press any key & Enter "; cin >> a;

return 0;

}

double f(double x){

double r;

r = sin(5*x)+x*x-1;

return r;

}

double hord(PF f, double a, double b,double eps,int Kmax){

double xk, xk1, xerr; int k = 0;

xk = a;

do{ k = k + 1; if(k > Kmax)break;

xk1 = a - f(a)*(b - a)/(f(b) - f(a));

if (f(xk1) == 0) break;

xerr = fabs(xk1 - xk); xk = xk1;

if (f(xk1)*f(b) > 0) b = xk1;

else a = xk1;

}while (xerr > eps);

return xk1;

}

 

Результат расчета для примера 2.6:

a = 0.2

b = 0.3

eps = 0.0001

Kmax = 100

x = 0.244633

Press any key & Enter

 

Как видим, результат совпадает с предыдущими расчетами.




Поделиться с друзьями:


Дата добавления: 2015-04-25; Просмотров: 6933; Нарушение авторских прав?; Мы поможем в написании вашей работы!


Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет



studopedia.su - Студопедия (2013 - 2024) год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! Последнее добавление




Генерация страницы за: 0.01 сек.