Расстояние от точки до прямой

Дана прямая своим общим уравнением Ах+Ву+С= 0, и точка М₁(х₁, у₁) относительно прямоугольной де­картовой системы координат (рис.). Требуется вывести формулу для вычисления расстояния от точки М₁(х₁, у₁) до прямой Ах + Ву + С = 0. Это расстояние равно длине отрезка перпендикуля­ра, опущенного из точки М₁ на данную прямую. Пусть М₂(х₂, у₂) - ос­нование этого перпендикуляра, тогда искомое расстояние d по опреде­лению выражается формулой

(19)

Данная прямая имеет угловой коэффициент , а прямая, перпендику­лярная ей, - угловой коэффициент , что следует из условия (12). Выразим угловой коэффициент прямой, проходящей через точки М₁(х₁, у₁) и М₂(х₂, у₂), по формуле (2), обозначим равные отношения буквой t и найдем х₂, у₂:

Запишем формулу расстояния между двумя точками для точек М₁(х₁, у₁) и М₂(х₁ +At, у₁+Bt):

(20)

Определим значение t. Так как точка М₂ лежит на данной прямой то

ее координаты удовлетворяют данному уравнению, т.е. или

откуда

(21)

Из равенств (19) - (21) следует искомая формула для вычисления расстояния от точки М₁(х₁, у₁) до прямой Ах+Ву+С= 0:

(22)

Дата добавления: 2015-04-25