Построение области устойчивости

Построим область устойчивости системы на плоскости параметров «постоянная времени корректирующего устройства – коэффициент усиления разомкнутой системы».

Из постоянных времени корректирующего звена выберем практически значимую T₁. Воспользуемся методикой, предложенной в [4, стр. 125].

Пользуясь (2.6) запишем уравнение, в котором T₁ и k будут переменными

(3.1)

Апериодическая граница устойчивости, определяемая нулевым и бесконечным корнями, вычисляется через следующую систему

Таким образом, апериодическая граница совпадает с осями координат. Колебательную границу устойчивости можно получить, приравнивая предпоследний определитель Гурвица к нулю.

.

Если раскрыть определитель и рассмотреть его относительно коэффициента усиления разомкнутой системы, то можно заметить, что получается квадратное алгебраическое уравнение. В этом случае можно представить корни данного уравнения как функцию k(T₁), которая будет определять колебательную границу устойчивости. Таким образом, область устойчивости определяется следующей системой неравенств

(3.2)

Раскрыть определитель проще всего с помощью Mathcad (Приложение Б.9). Ниже на рисунке 3.1 представлена область устойчивости из приложения Б.10.

Рисунок 3.1 Область устойчивости

Заметим, что зависимость параметра T₁ от k практически целиком линейная; лишь при очень малых T₁ зависимость нелинейная (проявляется возле критической частоты ЛФЧХ).

На рисунке 3.1 крестиком отмечено текущее расположение системы в области. По рисунку 3.1 критический коэффициент равен 1546 с^-1, что практически равно расчетному значению таблицы 2.2. Небольшая разница между данными значениями объясняется округлением коэффициентов при расчете.

Дата добавления: 2015-04-29