Моделирование дискретных СУ. Решетчатые функции и разностные уравнения. Математический аппарат Z-преобразования

1. Определение решетчатой функции.

Наряду с функциями, определенными на всей вещественной прямой t, можно рассматривать функции, которые определены только в некоторых точках t ₁, t ₂, … Такие функции называют решетчатыми. Будем рассматривать функции, определенные только в равноотстоящих точках t = nT, где n – любое целое число, а T – постоянная, называемая периодом дискретности. Эти функции принято обозначать f [ nT ].

Любой непрерывной функции f (t) можно поставить в соответствие некоторое множество решетчатых функций, если представить переменную t в виде

.

При каждом фиксированном значении переменной ε функцию f (nT + εT) можно рассматривать как решетчатую функцию, определенную в точках εT, (ε + 1) T, (ε + 2) T … Такие функции называются смещенными решетчатыми функциями. Для них используется обозначение f (nT + εT) = f [ nT, εT ] (в дальнейшем будем использовать упрощенное обозначение f [ n, ε ]). Благодаря непрерывности функции f (t) функция f [ nT, εT ] является непрерывной по аргументу ε и удовлетворяет условию

f [(n –1) T, T ] = f [ nT, 0]

2. Конечные разности решетчатых функций.

Выражение Δ f [ n ] = f [ n + 1] – f [ n ] называется конечной разностью первого порядка решетчатой функции (кратко просто первой разностью).

Первая разность от решетчатой функции Δ f [ n ] называется разностью второго порядка решетчатой функции f [ n ], т.е.

Δ² f [ n ] = Δ f [ n + 1] – Δ f [ n ].

Разность k -го порядка решетчатой функции определяется формулой

Δ ^kf [ n ] = Δ ^{k –1} f [ n + 1] – Δ ^{k –1} f [ n ]

Разность любого порядка можно выразить через значения решетчатой функции f [ n ]. В частности,

Δ² f [ n ] = Δ f [ n + 1] – Δ f [ n ] = f [ n + 2] – 2 f [ n + 1] – f [ n ].

Разности произвольного порядка определяют при помощи рекуррентных соотношений с использованием биноминальных коэффициентов.

Следует отметить, что операция взятия конечных разностей является линейной операцией.

Рассмотренные конечные разности называют прямыми (упреждающими). Кроме того, существуют обратные (отстающие) конечные разности:

Ñ f [ n ] = f [ n ] - f [ n – 1] (первая обратная разность)

3. Разностные уравнения.

Всякое соотношение, связывающее решетчатую функцию x [ n ] и ее разности до некоторого порядка k:

Ф [ n, x [ n ], Δ x [ n ], …, Δ ^kx [ n ]] = 0,

называется разностным уравнением. Учитывая, что все конечные разности могут быть выражены через значения решетчатой функции, то разностное уравнение может быть представлено в виде

Ф₁ [ n, x [ n ], x [ n + 1], x [ n + 2], …, x [ n + k ]] = 0

(уравнение порядка k, так как в нем в явном виде содержатся функции x [ n ] и x [ n + k ])

Рассмотрим неоднородные линейные разностные уравнения m-го порядка

b₀D^m x [ n, ε ] + b₁D^m-1 x [ n, ε ] +... + b_m-1D x [ n, ε ] +b_m x [ n, ε ] = f [ n, ε ]. (1)

Здесь f [ n, ε ] – заданная, а x [ n, ε ] – искомая решетчатые функции. При f [ n, ε ] º 0 уравнение (1) становится однородным разностным уравнением, решением которого будет x [ n, ε ].

Разностное уравнение (1) можно записать в другом виде:

a₀ x [ n + m, ε ] + a₁ x [ n + m -1, ε ] +... + a_m x [ n, ε ] = f [n, ε ]. (2)

Коэффициенты этого уравнения определяются из выражения

,

где биноминальные коэффициенты (число сочетаний)

.

Разностные уравнения можно рассматривать как рекуррентные соотношения, позволяющие вычислять значения x [ n + m, ε ] при n = 0, 1, 2,... для уравнения (2) и заданных начальных значений x [0, ε ], x [1, ε ],..., x [ m – 1, ε ].

Решение разностного уравнения при s = 0 представляет собой рекуррентную формулу. Например, для случая записи разностного уравнения через обратные разности решение будет иметь вид

, для n =0, 1, 2,...

при нулевых начальных условиях x [ n ] º 0 при n < 0. Структурная схема решения приведена на рисунке.

Структурная схема решения разностного уравнения

Общее решение однородного разностного уравнения при некратных корнях характеристического уравнения может быть записано следующим образом:

x [ n, ε ] = ,

где z_i - корни характеристического уравнения

a₀ z ^m + a₁ z ^{m – 1} +... + a_m = 0

C_i - постоянные коэффициенты.

Для получения возможности исследования решений разностных уравнений в общем виде широко используются дискретное преобразование Лапласа, z-преобразование, w -преобразование, а также частотные методы.

Дата добавления: 2015-04-29